Soru:
ABC dik üçgeninde, m(Â) = 90°'dir. |AB| = 6 cm ve |AC| = 8 cm'dir. Bu üçgenin ağırlık merkezi G noktası olduğuna göre, |BG| uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Önce hipotenüsü ve kenarortayı bulmalıyız. Ağırlık merkezi özelliğini kullanarak |BG|'yi hesaplayacağız.
- ➡️ Pisagor Teoremi ile hipotenüs |BC|'yi bulalım: \(|BC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) cm.
- ➡️ [BC] kenarına ait kenarortayın ayağı D noktası olsun. D, [BC]'nin orta noktasıdır. |BD| = |DC| = 5 cm.
- ➡️ Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir: \(|AD| = |BC| / 2 = 10 / 2 = 5\) cm.
- ➡️ Ağırlık merkezi G, [AD] kenarortayı üzerindedir ve |AG| : |GD| = 2 : 1'dir. |AD| = 5 cm ise, |GD| = 5 / 3 cm'dir.
- ➡️ Şimdi BGD dik üçgenine odaklanalım. |BD| = 5 cm, |GD| = 5/3 cm. Pisagor teoremi ile |BG|'yi buluruz: \(|BG| = \sqrt{|BD|^2 + |GD|^2} = \sqrt{5^2 + (5/3)^2} = \sqrt{25 + 25/9} = \sqrt{(225+25)/9} = \sqrt{250/9} = \frac{5\sqrt{10}}{3} \) cm.
✅ |BG| uzunluğu \( \mathbf{\frac{5\sqrt{10}}{3}} \) cm'dir.
