Soru: Bir araba GPS alıcısı, A, B ve C uydularından mesafeleri sırasıyla 22.000 km, 23.000 km ve 24.000 km olarak ölçüyor. Basitleştirilmiş bir modelde, bu uyduların konumları biliniyor olsun. Alıcının konumu nasıl hesaplanır? Adımları açıklayın.
Çözüm: GPS konum hesaplaması üç boyutlu uzayda (enlem, boylam, yükseklik) yapılır. Adımlar:
1. Uydu Konumları: Her uydunun anlık konumu (x, y, z koordinatları) yörünge verilerinden bilinir.
2. Mesafe Denklemleri: Alıcının konumu (X, Y, Z) olsun. Her uydu için mesafe denklemi: sqrt((X - x_i)^2 + (Y - y_i)^2 + (Z - z_i)^2) = d_i, burada d_i ölçülen mesafe, i uydu indeksi.
3. Denklem Sistemi: Üç uydu için üç denklem oluşur: sqrt((X - x_A)^2 + (Y - y_A)^2 + (Z - z_A)^2) = 22.000, sqrt((X - x_B)^2 + (Y - y_B)^2 + (Z - z_B)^2) = 23.000, sqrt((X - x_C)^2 + (Y - y_C)^2 + (Z - z_C)^2) = 24.000.
4. Çözüm: Bu denklemler doğrusal değildir, genellikle sayısal yöntemlerle (örneğin, en küçük kareler) çözülür. Pratikte, dördüncü bir uydu ve saat hatası düzeltmesi eklenir. Basit örnekte, bu üç denklem çözülerek alıcının (X, Y, Z) koordinatları bulunur, sonra enlem, boylam ve yüksekliğe dönüştürülür.
