Soru: Bir GPS uydusu Dünya'dan 20.000 km yükseklikte dairesel bir yörüngede dönmektedir. Bu uydunun Dünya çevresindeki bir tam turunu kaç saatte tamamladığını hesaplayınız (GPS uyduları yaklaşık 12 saatte bir tam tur atar, ancak burada formülü kullanarak kontrol ediniz). Yörünge yarıçapını Dünya'nın yarıçapı (6.371 km) + yükseklik olarak alınız ve Kepler'in üçüncü yasasını kullanınız: T^2 / R^3 = sabit, burada T yörünge periyodu (saniye), R yörünge yarıçapı (metre). Referans olarak, Dünya yüzeyine yakın bir uydunun (yükseklik ~0) periyodu yaklaşık 84 dakikadır.
Çözüm:
1. Önce yörünge yarıçapını hesaplayalım: R = Dünya yarıçapı + yükseklik = 6.371 km + 20.000 km = 26.371 km. Bunu metreye çevirelim: 26.371 km * 1.000 = 26.371.000 m.
2. Referans uydu için: Yükseklik ~0 iken R_ref = 6.371 km = 6.371.000 m, periyot T_ref = 84 dakika = 84 * 60 = 5.040 saniye.
3. Kepler yasasına göre: T^2 / R^3 = T_ref^2 / R_ref^3. Buradan T^2 = (T_ref^2 / R_ref^3) * R^3.
4. Değerleri yerine koyalım: T_ref^2 = 5.040^2 = 25.401.600, R_ref^3 = (6.371.000)^3 ≈ 2,59 * 10^20 (yaklaşık). R^3 = (26.371.000)^3 ≈ 1,83 * 10^22 (yaklaşık).
5. T^2 = (25.401.600 / 2,59*10^20) * 1,83*10^22 ≈ (9,81*10^-14) * 1,83*10^22 ≈ 1,80*10^9.
6. T = karekök(1,80*10^9) ≈ 42.400 saniye. Saniyeyi saate çevirelim: 42.400 / 3.600 ≈ 11,78 saat. Bu, GPS uydularının yaklaşık 12 saatlik periyoduyla uyumludur.
