Soru:
\( a = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \) ve \( b = \sqrt{3} + 1 \) sayılarını karşılaştırınız.
Çözüm:
💡 a sayısını paydayı rasyonelleştirerek sadeleştirelim ve her iki sayıyı da karşılaştırılabilir hale getirelim.
- ➡️ \( a = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2+\sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3} \)
- ➡️ Şimdi elimizde \( a = 2 + \sqrt{3} \) ve \( b = \sqrt{3} + 1 \) var.
- ➡️ İkisinden de \( \sqrt{3} \)'ü çıkarırsak: \( a - \sqrt{3} = 2 \), \( b - \sqrt{3} = 1 \).
- ➡️ Açıkça \( 2 > 1 \) olduğundan, \( a > b \) sonucuna varırız.
✅ Sonuç: \( a > b \). Yani, \( \frac{1}{2-\sqrt{3}} > \sqrt{3} + 1 \).
