Soru:
Denklemi \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\) olan çemberin merkezini ve yarıçapını bulunuz.
Çözüm:
💡 Verilen genel denklemi, çemberin standart denklemi olan \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) formatına tam kareye tamamlayarak getirmeliyiz.
- ➡️ Denklemi düzenleyelim: \(x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12\)
- ➡️ x'li terimler için tam kareye tamamlayalım: \(x^2 - 4x\) ifadesine \(4\) ekleyip çıkaralım. → \((x^2 - 4x + 4) - 4\)
- ➡️ y'li terimler için tam kareye tamamlayalım: \(y^2 + 6y\) ifadesine \(9\) ekleyip çıkaralım. → \((y^2 + 6y + 9) - 9\)
- ➡️ Bu ifadeleri denklemde yerine koyalım: \([(x^2 - 4x + 4) - 4] + [(y^2 + 6y + 9) - 9] = 12\)
- ➡️ Düzenlersek: \((x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) - 4 - 9 = 12\) → \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 = 12\)
- ➡️ Sabit terimi sağ tarafa atalım: \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\)
✅ Buradan çemberin merkezinin \((2, -3)\), yarıçapının ise \(r = \sqrt{25} = 5\) birim olduğu görülür.
