Soru:
\(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) çemberinin merkezinin koordinatlarını ve yarıçap uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Verilen genel denklemi, standart denklem haline getirmek için kare tamamlama yöntemini kullanacağız.
- ➡️ Denklemi düzenleyelim: \(x^2 - 6x + y^2 + 4y = 12\)
- ➡️ x'li terimler için kare tamamlayalım: \(x^2 - 6x\) ifadesine \(9\) ekler ve çıkarırız. \((x^2 - 6x + 9) = (x - 3)^2\)
- ➡️ y'li terimler için kare tamamlayalım: \(y^2 + 4y\) ifadesine \(4\) ekler ve çıkarırız. \((y^2 + 4y + 4) = (y + 2)^2\)
- ➡️ Denklemi yeniden yazalım: \((x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 = 12\) → \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 13 = 12\)
- ➡️ Sabit terimi sağ tarafa atalım: \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 13\) → \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\)
✅ Bu standart denklem formatına göre, çemberin merkezi M(3, -2) ve yarıçapı \(r = \sqrt{25} = 5\) birimdir.
