Soru:
Çevresi 22 birim olan bir ABC eşkenar üçgeninin A(1, 2) ve B(5, -1) köşeleri veriliyor. C köşesinin koordinatlarını bulunuz. (📌 İpucu: Eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.)
Çözüm:
💡 Önce |AB| kenar uzunluğunu bulup, eşkenar üçgen özelliğini kullanacağız.
- ➡️ Birinci adım: |AB| uzunluğunu bulalım.
\( |AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) birim.
- ➡️ İkinci adım: Çevre 22 birim ve bir kenar 5 birim ise bu bir eşkenar üçgen olamaz! ❌ Bir kenar 5 ise çevre 15 olurdu. Soruda verilen çevre değeri bir hata veya ek bir bilgi olabilir. Bu durumu göz ardı edip, kenar uzunluğunun 5 birim olduğu bir eşkenar üçgen için çözüm yapalım. C(x, y) noktası, hem A noktasına hem de B noktasına 5 birim uzaklıkta olmalıdır.
- ➡️ Üçüncü adım: Denklem sistemini kuralım.
\( |AC| = 5 \Rightarrow \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} = 5 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \) ... (1)
\( |BC| = 5 \Rightarrow \sqrt{(x-5)^2 + (y+1)^2} = 5 \Rightarrow (x-5)^2 + (y+1)^2 = 25 \) ... (2)
- ➡️ Dördüncü adım: Denklem (1)'den denklem (2)'yi çıkararak sadeleştirelim.
\( [(x-1)^2 - (x-5)^2] + [(y-2)^2 - (y+1)^2] = 0 \)
\( (x^2 -2x +1 - x^2 +10x -25) + (y^2 -4y +4 - y^2 -2y -1) = 0 \)
\( (8x -24) + (-6y + 3) = 0 \)
\( 8x - 6y -21 = 0 \) ... (3)
- ➡️ Beşinci adım: Denklem (3)'ü ve örneğin Denklem (1)'i ortak çözelim. Denklem (3)'ten \( x = \frac{6y+21}{8} \). Bunu (1)'de yerine koyup çözerek iki farklı (x, y) ikilisi bulunur. Bu işlemler sonucunda (karmaşık olabileceğinden detaylandırmıyoruz) iki olası C noktası vardır.
✅ Sonuç: Bu soru, çevre bilgisi ile tutarlı olmadığı için kenarı 5 birim olan bir eşkenar üçgen varsayılarak çözülmelidir ve iki farklı C noktası \(C_1\) ve \(C_2\) bulunur. (Örneğin, yaklaşık koordinatlar: \( C_1(3 + \frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2}) \) ve \( C_2(3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{2}) \) )
