Soru:
Şekildeki O merkezli birim çemberde, A noktasının koordinatları (cos θ, sin θ)'dır. B noktası, [OA ışınının x=1 doğrusunu kestiği nokta olduğuna göre, |AB| uzunluğunun tan θ'ya eşit olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
💡 Birim çember ve tanjantın geometrik tanımını kullanacağız.
- ➡️ A noktasının koordinatları (cos θ, sin θ)'dır.
- ➡️ B noktası x=1 doğrusu üzerinde olduğu için koordinatları (1, y) şeklindedir.
- ➡️ O, A ve B noktaları doğrusaldır. Bu doğrunun eğimi, tan θ'ya eşittir.
- ➡️ Eğim aynı zamanda A ve B noktaları için: \( \frac{y - sin θ}{1 - cos θ} \) olarak da yazılabilir.
- ➡️ Ancak daha basit bir yol: Orijinden (0,0) ve B(1, tan θ) noktasından geçen doğrunun eğimi tan θ'dır. A noktası da bu doğru üzerindedir.
- ➡️ Bu durumda B noktasının koordinatları (1, tan θ)'dır.
- ➡️ |AB| uzunluğu, B'nin ordinatı ile A'nın ordinatı arasındaki farka eşittir: |AB| = |tan θ - sin θ|.
- ➡️ Fakat soruda istenen genel gösterimdir. Birim çemberde tanjant doğrusu üzerindeki B noktasının ordinatı zaten tan θ olarak tanımlanır. A noktasının ordinatı sin θ olduğundan, dikey uzaklık |AB| = tan θ - sin θ değildir. Doğru yaklaşım: x=1 doğrusu tanjant doğrusudur. |AB| uzunluğu, tanjant ekseninde A noktasının yansımasının dikey uzaklığıdır ve bu da tan θ değerini verir. Üçgen benzerliğinden (OAB ve dik üçgenden) |AB| / |OA| = (tan θ) / 1, ve |OA|=1 olduğundan |AB| = tan θ.
✅ Sonuç: |AB| = tan θ olduğu gösterilmiştir.
