Çözümlü Örnek 4
Soru:
Bir bakteri populasyonu, uygun bir ortamda her 20 dakikada bir ikiye katlanarak üremektedir. Başlangıçta 1000 bakteri olduğuna göre, populasyonun 1.000.000 (1 milyon) bakteriye ulaşması ne kadar sürer?
Çözüm:
💡 Bu, klasik bir üstel büyüme problemidir ve logaritma olmadan çözülmesi zordur.
- ➡️ Adım 1: Genel formülü yazalım: \( N = N_0 \cdot 2^{(t / T)} \) burada \(T\) katlanma süresi (20 dk), \(t\) toplam süre.
- ➡️ Adım 2: Verilenleri yerine koyalım: \( 1.000.000 = 1000 \cdot 2^{(t / 20)} \) → \( 1000 = 2^{(t / 20)} \)
- ➡️ Adım 3: Sadeleştirelim: \( 1000 = 10^3 = (2^{\log_2{10}})^3 = 2^{3 \cdot \log_2{10}} \). Veya doğrudan her iki tarafın logaritmasını alalım: \( \log_2{1000} = t / 20 \).
- ➡️ Adım 4: t'yi bulalım: \( t = 20 \cdot \log_2{1000} \). \( \log_2{1000} = \frac{\log_{10}{1000}}{\log_{10}{2}} = \frac{3}{0.3010} ≈ 9.97 \). Sonuç: \( t = 20 \cdot 9.97 ≈ 199.4 \) dakika.
✅ Sonuç olarak, populasyonun 1 milyona ulaşması yaklaşık 199.4 dakika (yaklaşık 3 saat 19 dakika) sürer. Logaritma, üstel artışın hızını ve sonucunu anlamamızı sağlar.
