Soru:
\( y = ax^2 + bx \) eğrisine \( x = -1 \) noktasında çizilen teğet doğrusu \( y = 4x + 7 \) doğrusuna paraleldir. Buna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözüm:
💡 İki doğru paralel ise eğimleri eşittir. Verilen doğrunun eğimi, eğrinin \( x = -1 \) noktasındaki türevine eşit olmalıdır.
- ➡️ 1. Adım: Verilen teğet doğrusunun eğimini bulalım. \( y = 4x + 7 \) doğrusunun eğimi \( 4 \)'tür. Dolayısıyla, \( m = 4 \).
- ➡️ 2. Adım: \( y = ax^2 + bx \) fonksiyonunun türevini alalım. \( y' = 2ax + b \).
- ➡️ 3. Adım: \( x = -1 \) noktasındaki türev değerini (eğimi) yazalım ve \( 4 \)'e eşitleyelim.
\( y'(-1) = 2a(-1) + b = -2a + b = 4 \)
Bu bize 1. denklemimizi verir: \( -2a + b = 4 \)
- ➡️ 4. Adım: Eğri, \( x = -1 \) noktasından geçmelidir. Noktanın koordinatlarını bulmak için \( x = -1 \)'i fonksiyonda yazalım. \( y = a(-1)^2 + b(-1) = a - b \). Ayrıca, bu nokta teğet doğrusu üzerinde de olduğu için doğru denklemini de sağlamalıdır. \( x = -1 \) için \( y = 4(-1) + 7 = 3 \).
İki \( y \) değeri eşit olmalıdır: \( a - b = 3 \)
Bu bize 2. denklemimizi verir: \( a - b = 3 \)
- ➡️ 5. Adım: İki denklemi birlikte çözelim.
\( -2a + b = 4 \)
\( a - b = 3 \)
İki denklemi toplarsak: \( -a = 7 \), yani \( a = -7 \).
\( a - b = 3 \) denkleminde \( a \)'yı yerine koyarsak: \( -7 - b = 3 \) → \( -b = 10 \) → \( b = -10 \).
✅ Sonuç olarak, \( a + b = (-7) + (-10) = -17 \) olur.
