Soru:
CERN'deki ATLAS deneyinde, bir proton-proton çarpışması sonucu bir Higgs bozonu oluşmuş ve bu bozon hemen iki foton'a (\(H \to \gamma\gamma\)) bozunmuştur. Bu iki foton, dedektörde 120° açı yapan yönlerde ve her biri 75 GeV enerji ile gözlemlenmiştir. Higgs bozonunun durgun kütlesini (MH) hesaplamak için göreli enerji-momentum korunumunu kullanınız. (Işık hızı c=1 birim kabul edilebilir. Fotonların durgun kütlesi sıfırdır.)
Çözüm:
💡 Bu soru, göreli fizikteki enerji-momentum korunumunun temel bir uygulamasıdır. Bir parçacığın durgun kütlesi, toplam enerjinin karesinden toplam momentumun karesi çıkarılarak bulunur: \( M^2 = E_{toplam}^2 - p_{toplam}^2 \).
- ➡️ Adım 1: Sistemin toplam enerjisini bulalım. İki fotonun enerjileri eşit ve 75 GeV'dir.
\( E_{toplam} = E_1 + E_2 = 75 \text{ GeV} + 75 \text{ GeV} = 150 \text{ GeV} \).
- ➡️ Adım 2: Sistemin toplam momentumunu bulalım. Fotonların momentum büyüklükleri, enerjilerine eşittir (çünkü \(E=pc\)).
\( p_1 = p_2 = 75 \text{ GeV} \).
Vektörel toplam için kosinüs teoremini kullanırız. Aradaki açı 120° olduğuna göre:
\( p_{toplam}^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 p_1 p_2 \cos\theta \)
\( p_{toplam}^2 = (75)^2 + (75)^2 + 2 \times 75 \times 75 \times \cos(120^\circ) \)
\( \cos(120^\circ) = -0.5 \) olduğundan:
\( p_{toplam}^2 = 5625 + 5625 + (2 \times 5625 \times -0.5) = 11250 - 5625 = 5625 \)
Buradan, \( p_{toplam} = \sqrt{5625} = 75 \text{ GeV} \).
- ➡️ Adım 3: Higgs bozonunun kütlesini hesaplayalım.
\( M_H^2 = E_{toplam}^2 - p_{toplam}^2 \)
\( M_H^2 = (150)^2 - (75)^2 = 22500 - 5625 = 16875 \)
\( M_H = \sqrt{16875} \). \(16875 = 125 \times 135 = (25 \times 5) \times (9 \times 15) \) şeklinde düşünülebilir. Aslında \(16875 = (75\sqrt{3})^2\)'dir.
\( M_H = 75\sqrt{3} \text{ GeV} \approx 75 \times 1.732 \approx 129.9 \text{ GeV} \).
✅ Sonuç: Hesaplanan Higgs bozonu durgun kütlesi ~130 GeV civarındadır. Bu, gerçekte ölçülen 125 GeV değerine oldukça yakın bir tahmindir ve bu tür analizlerin temelini oluşturur.
