Soru:
CERN'deki Büyük Hadron Çarpıştırıcısı (LHC), protonları inanılmaz hızlara çıkarır. Bir proton, LHC'de ışık hızının %99.9999991'ine kadar hızlandırılıyor. Bu hızda protonun Lorentz Faktörünü (γ) hesaplayınız. (Işık hızı, \( c = 3 \times 10^8 \) m/s)
Çözüm:
💡 Lorentz Faktörü, özel görelilikteki zaman genişlemesi ve kütle artışını hesaplamak için kullanılır. Formülü: \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)
- ➡️ 1. Adım: Verilenleri yazalım. \( v = 0.999999991c \)
- ➡️ 2. Adım: \( \frac{v}{c} \) oranını hesaplayalım. Bu zaten verilmiş: \( \frac{v}{c} = 0.999999991 \). O halde \( \frac{v^2}{c^2} = (0.999999991)^2 \)
- ➡️ 3. Adım: \( 1 - \frac{v^2}{c^2} \) ifadesini hesaplayalım. \( 1 - (0.999999991)^2 = 1 - 0.999999982000000081 \approx 1.799999919 \times 10^{-8} \)
- ➡️ 4. Adım: Bu ifadenin karekökünü alalım. \( \sqrt{1.799999919 \times 10^{-8}} \approx \sqrt{1.8 \times 10^{-8}} = \sqrt{18 \times 10^{-9}} = \sqrt{18} \times 10^{-4.5} \). \( \sqrt{18} \approx 4.24 \) ve \( 10^{-4.5} = 10^{-4} \times 10^{-0.5} \approx 0.0001 \times 0.3162 \approx 3.162 \times 10^{-5} \). Sonuç: \( 4.24 \times 3.162 \times 10^{-5} \approx 1.34 \times 10^{-4} \)
- ➡️ 5. Adım: Lorentz Faktörünü hesaplayalım. \( \gamma = \frac{1}{1.34 \times 10^{-4}} \approx 7462.69 \)
✅ Sonuç: Protonun Lorentz Faktörü yaklaşık 7463'tür. Bu, protonun durgun kütlesinin 7463 katına çıktığı ve zamanının dışarıdaki bir gözlemciye göre 7463 kat yavaşladığı anlamına gelir!
