Soru:
CERN'deki bir deneyde, bir proton (\( m_p = 1.67 \times 10^{-27} \) kg) ışık hızının %99.9'u (\( v = 0.999c \)) ile hareket etmektedir. Bu protonun göreli momentumunu hesaplayınız ve bu değeri, aynı hıza sahip klasik momentumu ile karşılaştırınız. (\( c = 3.00 \times 10^8 \) m/s)
Çözüm:
💡 Göreli momentum, \( p = \gamma m v \) formülü ile hesaplanır. Klasik momentum ise \( p_{klasik} = m v \)'dir. Burada \( \gamma \) yine Lorentz Faktörüdür.
- ➡️ 1. Adım: Lorentz Faktörünü (\( \gamma \)) hesaplayalım.
\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.999)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.998001}} = \frac{1}{\sqrt{0.001999}} \approx \frac{1}{0.04471} \approx 22.37 \)
- ➡️ 2. Adım: Göreli momentumu hesaplayalım.
\( p_{goreli} = \gamma m v = 22.37 \times (1.67 \times 10^{-27}) \times (0.999 \times 3.00 \times 10^8) \)
Önce \( m v \)'yi hesaplayalım: \( (1.67 \times 10^{-27}) \times (2.997 \times 10^8) \approx 5.005 \times 10^{-19} \) kg·m/s
Sonra \( \gamma \) ile çarpalım: \( 22.37 \times 5.005 \times 10^{-19} \approx 1.119 \times 10^{-17} \) kg·m/s
- ➡️ 3. Adım: Klasik momentumu hesaplayalım.
\( p_{klasik} = m v = 5.005 \times 10^{-19} \) kg·m/s (Yukarıda zaten hesaplandı).
- ➡️ 4. Adım: İki momentumu karşılaştıralım.
\( \frac{p_{goreli}}{p_{klasik}} = \gamma = 22.37 \)
✅ Sonuçlar:
- Göreli Momentum: \( \approx 1.12 \times 10^{-17} \) kg·m/s
- Klasik Momentum: \( \approx 5.01 \times 10^{-19} \) kg·m/s
Işık hızına çok yakın hızlarda, göreli momentum klasik momentumun
22 katından daha fazladır! Bu fark, CERN gibi parçacık hızlandırıcılarında enerji hesaplamalarında görelilik teorisinin neden vazgeçilmez olduğunu gösterir.
