Soru:
Durgun haldeki 4 kg kütleli bir cisme, yatay bir düzlemde etki eden net kuvvetin zamana bağlı denklemi \( F_{net}(t) = 4t + 8 \) N'dir (\(t\) saniye cinsindendir). Cismin 2. saniye sonundaki hızı kaç m/s'dir? (Sürtünmeler önemsizdir.)
Çözüm:
💡 Kuvvet zamana bağlı olduğu için ivme de zamana bağlı olacaktır. Hızı bulmak için ivmenin zaman integralini almalıyız.
- ➡️ İvmenin Bulunması: Newton'un ikinci yasası: \( F = m \cdot a \). \( a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{4t + 8}{4} = t + 2 \, m/s^2 \).
- ➡️ Hızın Bulunması: Hız, ivmenin integralidir. \( v(t) = \int a(t) \, dt = \int (t + 2) \, dt = \frac{1}{2}t^2 + 2t + C \).
- ➡️ İntegral Sabiti (C): Cisim durgun halde olduğu için \( t=0 \) anında \( v=0 \)'dır. \( 0 = \frac{1}{2}(0)^2 + 2(0) + C \Rightarrow C = 0 \). O halde hız denklemi: \( v(t) = \frac{1}{2}t^2 + 2t \).
- ➡️ t=2 saniye için: \( v(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) = \frac{1}{2}(4) + 4 = 2 + 4 = 6 \).
✅ Sonuç: Cismin 2. saniyedeki hızı \( 6 \, m/s \)'dir.
