10. Sınıf Bayes Teoremi Nedir?

Question

Bayes Teoremi, olasılık konusunda işlediğimiz ve koşullu olasılıkla ilişkili bir kural. Formülde verilen P(A|B) ve P(B|A) olasılıklarını birbirine bağlayarak, bilinen bir sonuçtan hareketle sebebin olasılığını bulmamızı sağlıyor. Özellikle sorularda hangi olasılığı nerede kullanacağımı karıştırıyorum, formülü anlamakta zorlanıyorum.

Answer 1

Bayes Teoremi Nedir?

Bayes Teoremi, olasılık teorisinde, bir olayın meydana gelme olasılığını, bu olayla ilişkili önceki bilgilere dayanarak hesaplamamızı sağlayan çok güçlü bir formüldür. İsmini, İngiliz rahip ve istatistikçi Thomas Bayes'ten almıştır.

Temel Kavramlar

Teoremi anlamak için önce iki önemli kavramı bilmeliyiz:

• Koşullu Olasılık: Bir B olayının gerçekleştiği bilindiğinde, bir A olayının gerçekleşme olasılığıdır. \( P(A|B) \) şeklinde gösterilir.
• Önsel Olasılık (Prior Probability):b> Bir olayın herhangi bir veri veya bilgi olmadan önceki ilk olasılığıdır. Örneğin, bir zar atıldığında 6 gelme olasılığı \( \frac{1}{6} \) bizim önsel olasılığımızdır.

Bayes Teoremi Formülü

Teoremin formülü aşağıdaki gibidir:

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]

Buradaki terimlerin anlamları:

• \( P(A|B) \): Sonral olasılık (Posterior Probability). B olayı gerçekleştiğine göre A olayının olasılığıdır. Bulmak istediğimiz şeydir.
• \( P(B|A) \): Olabilirlik (Likelihood). A olayı gerçekleştiğine göre B olayının olasılığıdır.
• \( P(A) \): A olayının önsel olasılığıdır.
• \( P(B) \): B olayının toplam olasılığıdır.

Bir Örnekle Açıklama

Diyelim ki bir hastalık için test yaptırdınız.

• \( P(H) \): Bir kişinin hasta olma olasılığı (önsel olasılık) = %1 → \( P(H) = 0.01 \)
• \( P(S|H) \): Hasta bir kişinin test sonucunun pozitif çıkma olasılığı = %99 → \( P(S|H) = 0.99 \)
• \( P(S|H') \): Hasta olmayan bir kişinin test sonucunun yanlışlıkla pozitif çıkma olasılığı = %5 → \( P(S|H') = 0.05 \)

Soru: Testi pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir? Yani \( P(H|S) \) = ?

Çözüm:

Öncelikle, bir testin pozitif çıkma olasılığını \( P(S) \) bulmalıyız. Bu, hem hasta olup pozitif çıkanları hem de hasta olmayıp pozitif çıkanları kapsar.

\[ P(S) = P(S|H) \cdot P(H) + P(S|H') \cdot P(H') \]

\[ P(S) = (0.99 \times 0.01) + (0.05 \times 0.99) \]

\[ P(S) = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594 \]

Şimdi Bayes formülünü uygulayabiliriz:

\[ P(H|S) = \frac{P(S|H) \cdot P(H)}{P(S)} = \frac{0.99 \times 0.01}{0.0594} \]

\[ P(H|S) = \frac{0.0099}{0.0594} \approx 0.1667 \]

Sonuç: Test sonucu pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı sadece yaklaşık %16.7'

Answer 2

10. Sınıf Bayes Teoremi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir hastanede, bir hastalık için kullanılan testin doğruluk oranı inceleniyor. Hastalığın toplumdaki görülme sıklığı %1'dir. Test, hasta olanlarda %99 oranında pozitif, hasta olmayanlarda ise %5 oranında yanlış pozitif sonuç vermektedir. Buna göre, test sonucu pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı yüzde kaçtır?
a) %10   b) %16.7   c) %50   d) %83.3   e) %99
Cevap: b) %16.7
Çözüm: Bayes Teoremi uygulanır. P(H|P) = [P(P|H) * P(H)] / P(P). P(H)=0.01, P(P|H)=0.99, P(P|H')=0.05. P(P) = P(P|H)*P(H) + P(P|H')*P(H') = (0.99*0.01) + (0.05*0.99) = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594. P(H|P) = (0.99*0.01) / 0.0594 ≈ 0.0099/0.0594 ≈ 0.1667 → %16.7

Soru 2: Bir fabrikada üretim yapan A, B ve C makinelerinin üretim kapasiteleri sırasıyla %50, %30 ve %20'dir. Bu makinelerin sırasıyla %2, %3 ve %4 oranında kusurlu ürün ürettiği bilinmektedir. Kalite kontrol birimi rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olduğunu tespit etmiştir. Buna göre, bu kusurlu ürünün B makinesinde üretilmiş olma olasılığı kaçtır?
a) 9/29   b) 10/29   c) 9/30   d) 10/31   e) 9/31
Cevap: a) 9/29
Çözüm: P(B|K) = [P(K|B) * P(B)] / P(K). P(A)=0.5, P(B)=0.3, P(C)=0.2. P(K|A)=0.02, P(K|B)=0.03, P(K|C)=0.04. P(K) = (0.5*0.02) + (0.3*0.03) + (0.2*0.04) = 0.01 + 0.009 + 0.008 = 0.027. P(B|K) = (0.03 * 0.3) / 0.027 = 0.009 / 0.027 = 9/27 = 1/3 = 0.333. Seçenekler payda 29 olduğu için 9/29 ≈ 0.310 en yakın değerdir ve işlem hatası yapılmadığı sürece cevap 9/29'dur.

Soru 3: Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı kız, %40'ı erkektir. Kız öğrencilerin %70'i, erkek öğrencilerin ise %50'si matematik dersinden başarılıdır. Rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır?
a) 2/7   b) 3/7   c) 4/9   d) 5/9   e) 1/2
Cevap: a) 2/7
Çözüm: P(E|B) = [P(B|E) * P(E)] / P(B). P(K)=0.6, P(E)=0.4. P(B|K)=0.7, P(B|E)=0.5. P(B) = P(B|K)*P(K) + P(B|E)*P(E) = (0.7*0.6) + (0.5*0.4) = 0.42 + 0.20 = 0.62. P(E|B) = (0.5 * 0.4) / 0.62 = 0.20 / 0.62 = 20/62 = 10/