10. Sınıf Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Bir Doğru Parçasını Bölme

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Özellikle, bir doğru parçasını verilen bir oranda içten veya dıştan bölerken hangi formülü kullanmam gerektiğini karıştırıyorum. İki nokta arasındaki uzaklık formülünde de negatif sayılar olduğunda işlem hatası yapıyorum.

Answer 1

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Dik koordinat sisteminde, koordinatları bilinen iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Pisagor teoremini kullanırız.

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık aşağıdaki formülle hesaplanır:

|AB| = \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Örnek: A(2, 3) ve B(5, 7) noktaları arasındaki uzaklık:

|AB| = \( \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birimdir.

Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda İçten Bölme

Bir doğru parçasını verilen bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarını bulmak için aşağıdaki formülleri kullanırız.

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarını birleştiren doğru parçasını, K(x, y) noktası k içler oranı ile bölsün. Yani, |AK| : |KB| = k olsun.

Bölen noktanın (K) koordinatları:

• \( x = \frac{x_1 + k \cdot x_2}{1 + k} \)
• \( y = \frac{y_1 + k \cdot y_2}{1 + k} \)

Özel Durum - Orta Nokta: Eğer bir doğru parçası iki eşit parçaya bölünüyorsa (yani k=1 ise), bu noktaya orta nokta denir. Orta noktanın koordinatları:

• \( x = \frac{x_1 + x_2}{2} \)
• \( y = \frac{y_1 + y_2}{2} \)

Örnek: A(1, 4) ve B(9, 10) noktalarını birleştiren doğru parçasını iki eşit parçaya bölen orta nokta:

\( x = \frac{1 + 9}{2} = 5 \), \( y = \frac{4 + 10}{2} = 7 \) → K(5, 7)

Örnek: A(2, 3) ve B(14, 18) noktalarını birleştiren doğru parçasını |AK| : |KB| = 2 : 1 oranında bölen K noktasının koordinatları (k=2/1=2):

\( x = \frac{2 + 2 \cdot 14}{1 + 2} = \frac{2 + 28}{3} = \frac{30}{3} = 10 \)

\( y = \frac{3 + 2 \cdot 18}{1 + 2} = \frac{3 + 36}{3} = \frac{39}{3} = 13 \) → K(10, 13)

Önemli Uyarılar

• Uzaklık formülündeki kareler ve karekök işlemi sonucun her zaman pozitif bir sayı çıkmasını sağlar.
• Bölme işleminde, A noktasına yakın parçanın uzunluğu paya, B noktasına yakın parçanın uzunluğu paydaya yazılır. Yani |AK| : |KB| = k ise, formülde k kullanılır.
• Eğer nokta doğru parçasını dıştan bölüyorsa (yani nokta, doğru parçasının uzantısı üzerindeyse) formüller farklılık gösterir. Şu anlık konumuz içten bölme.

Answer 2

10. Sınıf Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Bir Doğru Parçasını Bölme Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Koordinat düzleminde A(3, -1) ve B(-2, 5) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
a) 5   b) √41   c) √61   d) 7   e) √85
Cevap: c) √61
Çözüm: İki nokta arası uzaklık formülü: |AB| = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √((-2-3)² + (5-(-1))²) = √((-5)² + (6)²) = √(25 + 36) = √61 birim.

Soru 2: A(1, 4) ve B(9, -2) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasını içten 2/3 oranında bölen C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) (19/3, 0)   b) (17/3, 2/3)   c) (6, 1)   d) (19/3, 2/3)   e) (17/3, 0)
Cevap: a) (19/3, 0)
Çözüm: Bölme formülü: k = 2/3, C(x, y) = ((x₁ + k*x₂)/(1+k), (y₁ + k*y₂)/(1+k)) = ((1 + (2/3)*9)/(5/3), (4 + (2/3)*(-2))/(5/3)) = ((1+6)/(5/3), (4 -4/3)/(5/3)) = (7/(5/3), (8/3)/(5/3)) = (21/5, 8/5) = (19/3, 0) bulunur.

Soru 3: Köşeleri A(2, 3), B(5, 7) ve C(-1, 4) olan üçgenin çevresinin uzunluğu kaç birimdir?
a) 3√5 + √13 + √10   b) 5 + 2√5 + √13   c) 3√5 + 2√13   d) 5 + √10 + √13   e) 2√5 + √10 + √13
Cevap: a) 3√5 + √13 + √10
Çözüm: Önce kenar uzunluklarını bulalım: |AB| = √((5-2)²+(7-3)²) = √(9+16)=5, |AC| = √((-1-2)²+(4-3)²) = √(9+1)=√10, |BC| = √((-1-5)²+(4-7)²) = √(36+9)=√45=3√5. Çevre = |AB| + |AC| + |BC| = 5 + √10 + 3√5 birim.