10. Sınıf Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

Question

Bu konuda trigonometrik oranları (sinüs, kosinüs, tanjant) bulurken hangi kenarı nereye yazacağımı karıştırıyorum. Ayrıca özdeşlik sorularında nereden başlayacağımı bilemediğim için soruyu çözemiyorum.

Answer 1

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

Bir dik üçgende, bir dar açının trigonometrik oranları, açının karşısındaki, komşusundaki kenar uzunlukları ve hipotenüs arasındaki belirli oranlardır. Bu oranlar üç tanedir ve temel trigonometrinin temelini oluşturur.

Sinüs (sin), Kosinüs (cos) ve Tanjant (tan)

Aşağıdaki dik üçgene bakalım:

ABC üçgeninde \( \widehat{B} = 90° \) (dik açı) ve \( \widehat{A} \) dar açısı için:

• Sinüs (sin): Karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. \( \sin(A) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|BC|}{|AC|} \)
• Kosinüs (cos): Komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. \( \cos(A) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|AB|}{|AC|} \)
• Tanjant (tan): Karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranıdır. \( \tan(A) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{|BC|}{|AB|} \)

Kotanjant (cot), Sekant (sec) ve Kosekant (cosec)

Bu oranlar, temel üç oranın tersi veya birbirleri cinsinden ifade edilebilir. \( \widehat{A} \) açısı için:

• Kotanjant (cot): Tanjantın tersidir. \( \cot(A) = \frac{1}{\tan(A)} = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Karşı Kenar}} \)
• Sekant (sec): Kosinüsün tersidir. \( \sec(A) = \frac{1}{\cos(A)} \)
• Kosekant (cosec): Sinüsün tersidir. \( \cosec(A) = \frac{1}{\sin(A)} \)

Trigonometrik Özdeşlikler

Trigonometrik özdeşlikler, trigonometrik oranlar arasında her zaman doğru olan eşitliklerdir. En temel ve önemli olanları aşağıdaki gibidir.

Temel Özdeşlikler

• Sinüs ve Kosinüs Kareleri Toplamı: Bir açının sinüs karesi ile kosinüs karesinin toplamı her zaman 1'e eşittir. \( \sin^2(A) + \cos^2(A) = 1 \)
• Tanjant ve Sekant İlişkisi: \( 1 + \tan^2(A) = \sec^2(A) \)
• Kotanjant ve Kosekant İlişkisi: \( 1 + \cot^2(A) = \cosec^2(A) \)

Oranlar Arasındaki İlişkiler

• Tanjant, Sinüs ve Kosinüs: Tanjant, sinüsün kosinüse oranı olarak da yazılabilir. \( \tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)} \)
• Kotanjant, Kosinüs ve Sinüs: Kotanjant, kosinüsün sinüse oranıdır. \( \cot(A) = \frac{\cos(A)}{\sin(A)} \)

Bu özdeşlikler, karmaşık trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek veya bir oranı diğeri cinsinden yazmak için sıklıkla kullanılır.

Answer 2

10. Sınıf Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC dik üçgeninde, dik açı C köşesindedir. |AB| = 13 cm ve |BC| = 5 cm olduğuna göre, sin(B) değeri kaçtır?
a) 5/13   b) 12/13   c) 5/12   d) 13/5   e) 12/5
Cevap: b) 12/13
Çözüm: Pisagor teoremine göre |AC| kenarını buluruz: |AC| = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 cm. B açısının karşısındaki kenar |AC| = 12 cm'dir. Hipotenüs ise 13 cm'dir. Sinüs = karşı / hipotenüs olduğundan, sin(B) = 12/13.

Soru 2: \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \) olmak üzere, \( \tan(\alpha) = \frac{3}{4} \) ise \( \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \) toplamı kaçtır?
a) 7/5   b) 6/5   c) 1   d) 5/7   e) 5/6
Cevap: a) 7/5
Çözüm: Tanjant = karşı / komşu = 3/4 olduğundan, dik üçgende karşı kenar 3k, komşu kenar 4k ve hipotenüs 5k olur (Pisagor: 5k). \( \sin(\alpha) = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5} \), \( \cos(\alpha) = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} \). Toplamları \( \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} \) olur.

Soru 3: Aşağıdaki ifadelerden hangisi \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) özdeşliğinin bir sonucu değildir?
a) \( 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) \)   b) \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \)   c) \( 1 + \cot^2(x) = \csc^2(x) \)   d) \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \)   e) \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \)
Cevap: d) \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
Çözüm: a, b, c ve e seçenekleri temel trigonometrik özdeşlikten türetilebilir. Ancak d seçeneği olan \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), tanjant fonksiyonunun tanımıdır, özdeşlikten bir sonuç değildir.

Soru 4: \( \sin(\theta) = \frac{2}{3} \) ve \( \theta \) dar açı ise, \( \frac{\tan(\theta) + \sec(\theta)}{\cot(\theta)} \) ifadesinin değeri kaçtır?
a) 13/6   b) 13/2   c) 5/2   d) 2   e) 1
Cevap: b) 13/2
Çözüm: Öncelikle \( \cos(\theta) \) değerini bulalım. \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \) olduğundan, \( (\frac{2}{3})^2 + \cos^2(\theta) = 1 \Rightarrow \frac{4}{9} + \cos^2(\theta) = 1 \Rightarrow \cos^2(\theta) = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{\sqrt5}{3} \).
\( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{2/3}{\sqrt5/3} = \frac{2}{\sqrt5} \), \( \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{3