10. Sınıf Parabolün Tepe Noktası Nasıl Bulunur?

Question

Parabolün tepe noktasını bulmak için kullandığımız formülü karıştırıyorum. Denklemi verildiğinde tepe noktasının (r,k) kordinatlarını nasıl bulacağımı tam olarak hatırlayamadım. Formüldeki işaretleri nereye koyacağım konusunda kafam karıştı.

Answer 1

Parabol Nedir?

Parabol, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğidir. Genel denklemi \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Bu denklemde \( a \), \( b \) ve \( c \) birer gerçel sayıdır ve \( a \neq 0 \)'dır.

Tepe Noktası (Vertex) Nedir?

Parabolün en yüksek veya en alçak noktasına tepe noktası denir. Eğer parabolün kolları yukarı doğruysa (\( a > 0 \)), bu nokta en küçük değeri (minimum) verir. Eğer kollar aşağı doğruysa (\( a < 0 \)), bu nokta en büyük değeri (maksimum) verir.

Tepe Noktasını Bulma Yöntemleri

Tepe noktasını bulmak için iki yaygın yöntem kullanılır:

• Formül Kullanma
• Kare Tamamlama Yöntemi

1. Formül Kullanarak Tepe Noktasını Bulma

Tepe noktasının koordinatları \( T(r, k) \) olmak üzere, \( r \) ve \( k \) değerleri aşağıdaki formüllerle bulunur:

• \( r = -\frac{b}{2a} \)
• \( k = f(r) = \frac{4ac - b^2}{4a} \)

Yani, önce \( r \) değeri bulunur, sonra bu \( r \) değeri fonksiyonda (\( f(x) \)) yerine yazılarak \( k \) değeri hesaplanır.

Örnek: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) parabolünün tepe noktasını bulalım.

• \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \)
• \( r = -\frac{(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \)
• \( k = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)

Bu durumda tepe noktası \( T(2, -1) \) olur.

2. Kare Tamamlama Yöntemi ile Tepe Noktasını Bulma

Bu yöntemde, fonksiyon \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) biçiminde yazılır. Buradaki \( r \) ve \( k \) değerleri bize tepe noktasının \( T(r, k) \) olduğunu direkt verir.

Örnek: Aynı fonksiyonu \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) kare tamamlama yöntemiyle yazalım.

• \( x^2 - 4x \) ifadesine bakarız. Bunu bir tam kareye dönüştürmek için \( x^2 - 4x + 4 \) yazarız, çünkü bu \( (x-2)^2 \)'ye eşittir.
• Denklemi şu şekilde düzenleriz: \( f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 \)
• \( f(x) = (x-2)^2 - 1 \)

Fonksiyon artık \( f(x) = 1.(x - 2)^2 - 1 \) formatındadır. Bu bize tepe noktasının \( T(2, -1) \) olduğunu gösterir.

Özet

• Parabolün tepe noktası, grafiğin dönüm noktasıdır (minimum veya maksimum nokta).
• Tepe noktası \( T(r, k) \), formülle \( r = -\frac{b}{2a} \) ve \( k = f(r) \) şeklinde bulunur.
• Fonksiyonu \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) formatına getirerek (kare tamamlama) de tepe noktası \( T(r, k) \) olarak okunabilir.
• İki yöntem de a

Answer 2

10. Sınıf Parabolün Tepe Noktası Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f(x) = 2x² - 12x + 19 fonksiyonunun tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) T(3, 1)
b) T(3, -1)
c) T(-3, 1)
d) T(-3, -1)
e) T(2, 3)
Cevap: a) T(3, 1)
Çözüm: Tepe noktasının apsisi r = -b/(2a) formülü ile bulunur. r = -(-12)/(2*2) = 12/4 = 3. Ordinatı bulmak için x yerine 3 yazılır: f(3) = 2*(3)² - 12*3 + 19 = 18 - 36 + 19 = 1. Sonuç olarak T(3, 1)'dir.

Soru 2: Tepe noktası T(1, -4) olan ve y eksenini (0, -2) noktasında kesen parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) f(x) = 2x² - 4x - 2
b) f(x) = 2x² + 4x - 2
c) f(x) = 2x² - 4x + 2
d) f(x) = x² - 2x - 4
e) f(x) = 2x² + 2x - 4
Cevap: a) f(x) = 2x² - 4x - 2
Çözüm: Tepe noktası T(r,k) olan parabolün denklemi f(x) = a(x - r)² + k formunda yazılabilir. T(1, -4) için f(x) = a(x - 1)² - 4. Parabol (0, -2) noktasından geçtiği için bu değerler denklemde yerine yazılır: -2 = a(0 - 1)² - 4 → -2 = a(1) - 4 → a = 2. Denklem f(x) = 2(x - 1)² - 4 = 2(x² - 2x + 1) - 4 = 2x² - 4x + 2 - 4 = 2x² - 4x - 2.

Soru 3: Aşağıda denklemleri verilen parabollerden hangisinin tepe noktası diğerlerine göre en soldadır?
a) f(x) = x² - 6x + 10
b) f(x) = -x² + 2x + 5
c) f(x) = 3x² + 12x
d) f(x) = -2x² - 8x - 5
e) f(x) = (1/2)x² + 2x - 3
Cevap: c) f(x) = 3x² + 12x
Çözüm: Her bir parabolün tepe noktasının apsis değeri (r) bulunur ve en küçük olan seçilir.
a) r = -(-6)/(2*1) = 3
b) r = -2/(2*(-1)) = 1
c) r = -12/(2*3) = -2
d) r = -(-8)/(2*(-2)) = 8/(-4) = -2 (Ancak kolları aşağı olduğu için tepe noktası maksimumdur, bu soru için apsis değeri önemli.)
e) r = -2/(2*(1/2)) = -2/1 = -2
a, b, c, d ve e şıklarının r değerleri sırasıyla 3, 1, -2, -2, -2'dir. En küçük r değeri -2'dir. c, d ve e şıklarının r değerleri aynı olduğu için "en solda" ifadesi ile apsis değeri en küçük olan, yani sayı doğrusunda en solda olan kastedilmiştir. -2 değeri 1 ve 3'ten küçüktür.