10. Sınıf En Büyük Ortak Bölen-En Küçük Ortak Kat (EBOB-EKOK)

Question

Bu konuda EBOB ve EKOK'u bulurken hangi yöntemi kullanmam gerektiğini karıştırıyorum. Asal çarpanlara ayırma mı, yoksa liste yöntemi mi daha doğru anlayamadım. Ayrıca problem sorularında hangisini kullanacağımı da tam olarak çıkaramıyorum.

Answer 1

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen (EBOB), ortak katlarının en küçüğüne ise En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki sayının EBOB'u, her iki sayıyı da tam bölebilen en büyük doğal sayıdır. EBOB(a, b) şeklinde gösterilir.

Örnek: 18 ve 24 sayılarının EBOB'unu bulalım.

• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6

Ortak bölenlerin en büyüğü 6'dır. Yani EBOB(18, 24) = 6

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki sayının EKOK'u, her iki sayının da katı olan en küçük doğal sayıdır. EKOK(a, b) şeklinde gösterilir.

Örnek: 6 ve 8 sayılarının EKOK'unu bulalım.

• 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
• 8'in katları: 8, 16, 24, 32, 40, ...
• Ortak katlar: 24, 48, ...

Ortak katların en küçüğü 24'tür. Yani EKOK(6, 8) = 24

EBOB ve EKOK'u Asal Çarpanlara Ayırarak Bulma

Büyük sayılar için EBOB ve EKOK'u bulmanın en pratik yolu, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır.

EBOB Bulma: İki sayıyı da asal çarpanlarına ayırırız. Sadece ortak olan asal çarpanları alır ve en küçük üslülerini çarparız.

Örnek: EBOB(36, 60)

• 36 = \(2^2 \times 3^2\)
• 60 = \(2^2 \times 3^1 \times 5^1\)
• Ortak çarpanlar: 2 ve 3
• En küçük üslere göre: \(2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12\)

EBOB(36, 60) = 12

EKOK Bulma: İki sayıyı da asal çarpanlarına ayırırız. Tüm asal çarpanları alır ve en büyük üslülerini çarparız.

Örnek: EKOK(36, 60)

• 36 = \(2^2 \times 3^2\)
• 60 = \(2^2 \times 3^1 \times 5^1\)
• Tüm çarpanlar: 2, 3, 5
• En büyük üslere göre: \(2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 4 \times 9 \times 5 = 180\)

EKOK(36, 60) = 180

EBOB ve EKOK Arasındaki İlişki

İki sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, bu iki sayının çarpımına eşittir.

\(a \times b = EBOB(a, b) \times EKOK(a, b)\)

Örnek

Answer 2

10. Sınıf En Büyük Ortak Bölen-En Küçük Ortak Kat Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir marangoz, uzunlukları 72 cm ve 90 cm olan iki tahta parçasını, hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta parçalara ayırmak istiyor. Bir parçanın uzunluğu en fazla kaç santimetre olabilir ve bu durumda toplam kaç parça elde edilir?
a) 18 cm ve 7 parça
b) 18 cm ve 9 parça
c) 36 cm ve 5 parça
d) 9 cm ve 18 parça
e) 6 cm ve 27 parça
Cevap: b) 18 cm ve 9 parça
Çözüm: Parçanın en fazla uzunluğu için EBOB bulunur. EBOB(72, 90) = 18 cm. Parça sayısı: (72/18) + (90/18) = 4 + 5 = 9 parça.

Soru 2: Bir hastanedeki üç farklı zil sırasıyla 15, 20 ve 25 dakikalık aralıklarla çalmaktadır. Üçü birlikte çaldıktan en az kaç dakika sonra tekrar üçü birlikte çalar?
a) 60
b) 100
c) 150
d) 200
e) 300
Cevap: e) 300
Çözüm: Zillerin birlikte çalma süresi EKOK ile bulunur. EKOK(15, 20, 25) = 300 dakika.

Soru 3: Kenar uzunlukları 24 m ve 36 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına ve köşelerine, eşit aralıklarla ve mümkün olan en az sayıda ağaç dikilecektir. Kaç ağaç gerekir?
a) 5
b) 10
c) 12
d) 15
e) 20
Cevap: b) 10
Çözüm: Ağaçlar arası mesafe EBOB(24,36)=12 m'dir. Bahçenin çevresi: 2*(24+36)=120 m. Ağaç sayısı: 120/12 = 10 adet.

Soru 4: \( x \) ve \( y \) pozitif tam sayılardır. \( EBOB(x, y) = 6 \) ve \( EKOK(x, y) = 72 \) olduğuna göre, \( x + y \) toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
a) 42
b) 48
c) 54
d) 78
e) 84
Cevap: e) 84
Çözüm: \( x \cdot y = EBOB(x,y) \cdot EKOK(x,y) = 6 \cdot 72 = 432 \). x ve y, 6'nın katı olduğundan x=6a, y=6b yazılır. a ve b aralarında asaldır ve a*b=432/36=12'dir. (a,b) ikilileri: (1,12) → (6,72) Top:78, (3,4) → (18,24) Top:42, (4,3) → (24,18) Top:42, (12,1) → (72,6) Top:78, (2,6) aralarında asal olmadığı için geçersiz. 54 ve 84 toplamları bu ikililerle elde edilemez. 84 için (a,b)=(7,12/7) tam sayı olmadığından olamaz.