Benzer üçgenler, karşılıklı açıları eşit ve kenar uzunlukları orantılı olan üçgenlerdir. Bir üçgenden yola çıkarak ona benzer başka üçgenler oluşturmak için çeşitli yöntemler kullanılabilir.
Bir \( ABC \) üçgeni verilsin. Bu üçgenin kenar uzunluklarını \( 2 \) katına çıkararak benzer bir \( A'B'C' \) üçgeni oluşturalım:
Bu durumda \( ABC \sim A'B'C' \) olur ve benzerlik oranı \( k = 2 \)'dir.
Soru 1: ABC üçgeninin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Bu üçgene benzer olacak şekilde, en kısa kenarı 9 cm olan bir DEF üçgeni oluşturulmak isteniyor. DEF üçgeninin diğer kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
a) 12 cm, 15 cm
b) 10 cm, 14 cm
c) 9 cm, 12 cm
d) 11 cm, 13 cm
e) 8 cm, 10 cm
Cevap: a) 12 cm, 15 cm
Çözüm: Benzer üçgenlerde kenarlar orantılıdır. ABC üçgeninde en kısa kenar 6 cm, DEF'te 9 cm olduğundan benzerlik oranı \( \frac{9}{6} = 1.5 \)'tir. Diğer kenarlar: \( 8 \times 1.5 = 12 \) cm ve \( 10 \times 1.5 = 15 \) cm olmalıdır.
Soru 2: Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50° \) ve \( \angle B = 70° \) dir. Bu üçgene benzer bir KLM üçgeni çizilirken \( \angle K = 50° \) ve \( \angle L = 60° \) olarak işaretleniyor. Bu durumda KLM üçgeni ile ABC üçgeni için ne söylenebilir?
a) Benzerdir çünkü iki açı eşittir
b) Benzer değildir çünkü açılar uyuşmuyor
c) Sadece bir açı eşit olduğu için benzerdir
d) Kenar uzunlukları bilinmeden karar verilemez
e) Benzerlik oranı 1'dir
Cevap: b) Benzer değildir çünkü açılar uyuşmuyor
Çözüm: Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşit olmalıdır. ABC üçgeninde \( \angle C = 60° \) iken KLM'de \( \angle L = 60° \) olarak verilmiştir. Açılar karşılıklı eşleşmediği için benzerlik sağlanmaz.
Soru 3: Şekildeki ABC üçgeninde [DE] // [BC] olacak şekilde bir D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerinde işaretleniyor. |AD| = 4 cm, |DB| = 2 cm ve |DE| = 5 cm olduğuna göre |BC| kaç cm'dir?
a) 7.5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 15
Cevap: a) 7.5
Çözüm: Temel benzerlik teoremine göre \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \). \( AB = 4+2 = 6 \) cm olduğundan \( \frac{4}{6} = \frac{5}{BC} \) → \( BC = \frac{5 \times 6}{4} = 7.5 \) cm bulunur.