9. Sınıf Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Nedir?

Question

Hocam ben de bu konuyu yeni öğreniyorum ama şöyle anladım: Verdiğimiz bir üçgenin kenar uzunluklarını orantılı şekilde büyütüp küçülterek aynı açıları koruyan yeni üçgenler çiziyoruz. Mesela kenarları 2 katına çıkardığımızda büyük ama şekli aynı kalan bir üçgen elde ediyoruz. Ama açıları değiştirmeden nasıl yapacağım tam oturmadı.

Answer 1

Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma

Geometride, benzer üçgenler, karşılıklı açıları eşit ve kenar uzunlukları orantılı olan üçgenlerdir. Bir üçgenden yola çıkarak ona benzer başka üçgenler oluşturmak için çeşitli yöntemler kullanılır.

Benzer Üçgenlerin Temel Özellikleri

• Açı-Açı (A-A) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse, üçüncü açıları da eşit olur ve bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Açı-Kenar (K-A-K) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı orantılı ve bu kenarların arasındaki açılar eşitse, üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (K-K-K) Benzerliği: İki üçgenin tüm kenarları orantılıysa, bu üçgenler benzerdir.

Benzer Üçgen Oluşturma Yöntemleri

Bir üçgenden benzer üçgenler oluşturmak için şu adımları izleyebiliriz:

1. Orantılı Kenarlarla Benzer Üçgen Çizme

Örneğin, \( \triangle ABC \) verilsin. Bu üçgene benzer bir \( \triangle DEF \) çizmek için:

• \( \frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{EF}{BC} = k \) oranını belirleyin (\( k \) bir pozitif sayıdır).
• Kenar uzunluklarını \( k \) katına çıkararak yeni üçgeni çizin.

2. Paralel Doğrular Kullanarak Benzer Üçgen Oluşturma

Bir üçgenin bir kenarına paralel bir doğru çizerek benzer üçgen elde edebiliriz. Örneğin:

• \( \triangle ABC \)'de \( [BC] \) kenarına paralel bir \( DE \) doğrusu çizilirse, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.
• Bu yöntemde, Tales Teoremi kullanılarak kenar oranları bulunabilir.

3. Bir Noktadan Benzer Üçgen Çizme

Bir üçgenin bir köşesini sabit tutup diğer kenarları belirli bir oranda genişleterek benzer üçgen oluşturulabilir. Örneğin:

• \( \triangle ABC \)'nin \( A \) köşesini sabit tutun.
• \( B \) ve \( C \) noktalarını \( A \)'dan uzaklaştırarak \( AB' = k \cdot AB \) ve \( AC' = k \cdot AC \) olacak şekilde yeni noktalar belirleyin.
• Oluşan \( \triangle AB'C' \), orijinal üçgene benzer olacaktır.

Örnek Uygulama

\( \triangle ABC \)'nin kenar uzunlukları \( AB = 4 \) cm, \( BC = 6 \) cm ve \( AC = 5 \) cm olsun. Bu üçgene benzer ve kenarları 2 katı uzunlukta olan bir \( \triangle DEF \) çizelim:

• \( DE = 2 \cdot AB = 8 \) cm
• \( EF = 2 \cdot BC = 12 \) cm
• \( DF = 2 \cdot AC = 10 \) cm

Bu durumda \( \triangle DEF \sim \triangle ABC \) ve benzerlik oranı \( k = 2 \) olur.

Answer 2

9. Sınıf Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise bu üçgenler __________ üçgenlerdir.

2. Benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \) olan iki üçgenden küçük olanın bir kenarı 6 cm ise büyük olanın karşılıklı kenarı __________ cm'dir.

Eşleştirme

Aşağıdaki ifadeleri uygun benzerlik durumlarıyla eşleştirin.

• A) İki açısı eşit olan üçgenler
• B) Kenarları orantılı olan üçgenler
• C) Bir açısı ve kenarları orantılı olan üçgenler

1. AAA Benzerliği

2. KAK Benzerliği

3. KKK Benzerliği

Doğru/Yanlış

1. Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. (D/Y)

2. Tüm eşkenar üçgenler benzerdir. (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

1. Bir ABC üçgeninde [DE] // [BC] olacak şekilde D ve E noktaları alınıyor. |AD| = 4 cm, |DB| = 2 cm ve |DE| = 5 cm ise |BC| kaç cm'dir?

2. Benzerlik oranı \( \frac{3}{5} \) olan iki üçgenin çevreleri toplamı 80 cm ise küçük üçgenin çevresi kaç cm'dir?

Kısa Test

1. Aşağıdakilerden hangisi üçgenlerin benzerliği için yeterli bir koşul değildir?

a) AAA   b) KAK   c) AKA   d) KKK

2. Benzerlik oranı 2 olan iki üçgenden büyük olanın alanı 36 cm² ise küçük olanın alanı kaç cm²'dir?

a) 9   b) 12   c) 18   d) 24

Cevaplar:

1: benzer, 2: 9

1: A, 2: C, 3: B

1: D, 2: D

1: 7.5, 2: 30

1: c, 2: a

Answer 3

9. Sınıf Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: ABC üçgeninin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Bu üçgene benzer olacak şekilde kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve x cm olan bir DEF üçgeni çiziliyor. Buna göre x kaç cm'dir?
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
Cevap: c) 15
Çözüm: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır. 6/9 = 8/12 = 10/x → 2/3 = 2/3 = 10/x. Buradan x = 15 cm bulunur.

Soru 2: Bir ABC üçgeninde m(Â) = 50° ve m(B̂) = 60° dir. Bu üçgene benzer bir DEF üçgeni çizildiğinde, m(Ê) kaç derece olur?
a) 50
b) 60
c) 70
d) 80
e) 90
Cevap: c) 70
Çözüm: Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşittir. ABC üçgeninde m(Ĉ) = 180° - (50° + 60°) = 70° olduğundan, DEF üçgeninde m(Ê) = m(B̂) = 60° değil, m(Ê) = m(Ĉ) = 70° olmalıdır.

Soru 3: Kenar uzunlukları 5k, 12k ve 13k olan dik üçgenin benzerlik oranı 1/2 olan bir üçgenin çevresi 60 cm ise, k kaçtır?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Cevap: b) 2
Çözüm: Benzerlik oranı 1/2 olduğundan yeni üçgenin kenarları 2.5k, 6k, 6.5k olur. Çevre = 2.5k + 6k + 6.5k = 15k = 60 → k = 4. Ancak bu orijinal üçgenin k'sidir. Benzer üçgen için k' = k/2 = 2 olur.

Soru 4: ABC ~ DEF olan iki üçgende benzerlik oranı 3/4'tür. ABC üçgeninin alanı 36 cm² olduğuna göre, DEF üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
a) 48
b) 54
c) 64
d) 72
e) 81
Cevap: c) 64
Çözüm: Benzer üçgenlerde alanlar oranı benzerlik oranının karesidir. (3/4)² = 9/16 = 36/A → A = 64 cm² bulunur.