9. Sınıf Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Nedir?

Question

Hocam ben de bu konuyu yeni öğreniyorum. Üçgenin kenar uzunluklarını orantılı şekilde büyütüp küçülterek aynı açıları koruyarak yeni üçgenler elde etmek kafamı karıştırıyor. Mesela 2 kat büyütünce neden açılar değişmiyor anlamadım.

Answer 1

Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma

Benzer üçgenler, karşılıklı açıları eşit ve kenar uzunlukları orantılı olan üçgenlerdir. Bir üçgenden yola çıkarak ona benzer başka üçgenler oluşturmak için çeşitli yöntemler kullanılabilir.

Benzer Üçgen Oluşturma Yöntemleri

• Kenar Orantısı Yöntemi: Verilen üçgenin kenar uzunluklarını belirli bir oranda (\( k \)) büyütüp küçülterek benzer üçgen elde edilir. Örneğin, bir üçgenin kenarları \( a, b, c \) ise, benzer üçgenin kenarları \( k \cdot a, k \cdot b, k \cdot c \) olur.
• Temel Benzerlik Teoremleri:
  • AAA Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı açıları eşitse benzerdir.
  • KK Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse benzerdir.
• Öteleme, Dönme veya Yansıma: Bir üçgeni öteleyerek, döndürerek veya yansıtarak benzer üçgenler elde edilebilir.

Örnek Uygulama

Bir \( ABC \) üçgeni verilsin. Bu üçgenin kenar uzunluklarını \( 2 \) katına çıkararak benzer bir \( A'B'C' \) üçgeni oluşturalım:

• \( |AB| = 4 \) cm ise \( |A'B'| = 8 \) cm,
• \( |BC| = 5 \) cm ise \( |B'C'| = 10 \) cm,
• \( |AC| = 6 \) cm ise \( |A'C'| = 12 \) cm olur.

Bu durumda \( ABC \sim A'B'C' \) olur ve benzerlik oranı \( k = 2 \)'dir.

Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Benzer üçgenlerin alanları, kenar oranının karesi ile orantılıdır (\( \text{Alan}_{A'B'C'} = k^2 \cdot \text{Alan}_{ABC} \)).
• Açılar korunmalıdır. Kenarları değiştirirken karşılıklı açıların eşit olduğundan emin olunmalıdır.

Answer 2

9. Sınıf Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: ABC üçgeninin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Bu üçgene benzer olacak şekilde, en kısa kenarı 9 cm olan bir DEF üçgeni oluşturulmak isteniyor. DEF üçgeninin diğer kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

a) 12 cm, 15 cm
b) 10 cm, 14 cm
c) 9 cm, 12 cm
d) 11 cm, 13 cm
e) 8 cm, 10 cm

Cevap: a) 12 cm, 15 cm
Çözüm: Benzer üçgenlerde kenarlar orantılıdır. ABC üçgeninde en kısa kenar 6 cm, DEF'te 9 cm olduğundan benzerlik oranı \( \frac{9}{6} = 1.5 \)'tir. Diğer kenarlar: \( 8 \times 1.5 = 12 \) cm ve \( 10 \times 1.5 = 15 \) cm olmalıdır.

Soru 2: Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50° \) ve \( \angle B = 70° \) dir. Bu üçgene benzer bir KLM üçgeni çizilirken \( \angle K = 50° \) ve \( \angle L = 60° \) olarak işaretleniyor. Bu durumda KLM üçgeni ile ABC üçgeni için ne söylenebilir?

a) Benzerdir çünkü iki açı eşittir
b) Benzer değildir çünkü açılar uyuşmuyor
c) Sadece bir açı eşit olduğu için benzerdir
d) Kenar uzunlukları bilinmeden karar verilemez
e) Benzerlik oranı 1'dir

Cevap: b) Benzer değildir çünkü açılar uyuşmuyor
Çözüm: Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşit olmalıdır. ABC üçgeninde \( \angle C = 60° \) iken KLM'de \( \angle L = 60° \) olarak verilmiştir. Açılar karşılıklı eşleşmediği için benzerlik sağlanmaz.

Soru 3: Şekildeki ABC üçgeninde [DE] // [BC] olacak şekilde bir D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerinde işaretleniyor. |AD| = 4 cm, |DB| = 2 cm ve |DE| = 5 cm olduğuna göre |BC| kaç cm'dir?

a) 7.5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 15

Cevap: a) 7.5
Çözüm: Temel benzerlik teoremine göre \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \). \( AB = 4+2 = 6 \) cm olduğundan \( \frac{4}{6} = \frac{5}{BC} \) → \( BC = \frac{5 \times 6}{4} = 7.5 \) cm bulunur.