9. Sınıf Öklid Teoremi Nedir?

Question

Öklid Teoremi'ni anlamaya çalışıyorum ama hangi bağıntıların ne işe yaradığını karıştırıyorum. Özellikle dik üçgende hipotenüse inen yüksekliğin kenarlar arasında kurduğu ilişkiyi sorularda nasıl kullanacağımı öğrenmek istiyorum.

Answer 1

Öklid Teoremi Nedir?

Öklid Teoremi, bir dik üçgende hipotenüse (dik açının karşısındaki kenar) çizilen yüksekliğin, hipotenüs üzerinde iki parça oluşturduğunu ve bu parçalarla kenarlar arasında kurulan bağıntıları ifade eder. Bu teorem, dik üçgenlerde benzerlik kurallarının bir sonucudur.

Teoremin İfadesi

Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90° ise ve [AH] yüksekliği hipotenüs olan [BC]'ye çizilmişse, aşağıdaki iki bağıntı geçerlidir:

• 1. Teorem: \( (AB)^2 = BH \cdot BC \)
• 2. Teorem: \( (AC)^2 = CH \cdot BC \)

Ayrıca, yüksekliğin kendisi için de şu bağıntı vardır:

• Yükseklik Bağıntısı: \( (AH)^2 = BH \cdot CH \)

Teoremin İspatı (Benzerlik ile)

Teoremi ispatlamak için üçgenin içindeki benzer üçgenleri kullanırız.

ABC dik üçgeninde [AH] yüksekliği çizildiğinde, üç tane birbirine benzer dik üçgen oluşur:

• \( \triangle ABH \sim \triangle CBA \)
• \( \triangle ACH \sim \triangle BCA \)
• \( \triangle ABH \sim \triangle CAH \)

Örneğin, \( \triangle ABH \) ve \( \triangle CBA \) üçgenlerinin benzerliğinden karşılıklı kenar oranlarını yazarsak:

\( \frac{AB}{CB} = \frac{BH}{AB} \)

İçler dışlar çarpımı yaparsak:

\( (AB)^2 = BH \cdot CB \)

Bu da teoremin birinci kısmının ispatıdır. Diğer bağıntılar da aynı şekilde benzerlikler kurularak ispatlanır.

Örnek Soru

Aşağıdaki dik üçgende |BH| = 4 cm ve |HC| = 9 cm ise, |AH| yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Yükseklik bağıntısını kullanırız:

\( (AH)^2 = BH \cdot HC \)

\( (AH)^2 = 4 \cdot 9 \)

\( (AH)^2 = 36 \)

\( |AH| = \sqrt{36} = 6 \) cm

Önemli Uyarılar

• Öklid teoremini uygulayabilmek için üçgenin dik üçgen olduğundan ve çizilen doğrunun yükseklik olduğundan emin olmalısınız.
• Teorem, hipotenüse ait kenar uzunluklarının kareleri ile ilgilidir. Sorularda hangi bağıntıyı kullanmanız gerektiğine dikkat edin.
• Bu teorem, Pisagor Teoremi ile birlikte dik üçgenlerde en sık kullanılan bağıntılardan biridir.

Answer 2

9. Sınıf Öklid Teoremi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüsü 4 cm ve 9 cm uzunluğundaki iki parçaya ayırıyor. Buna göre, bu yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6   b) 8   c) 10   d) 12   e) 13
Cevap: A) 6
Çözüm: Öklid Teoremi'ne göre, dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu (h), hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının (p ve k) geometrik ortalamasıdır. Formül: \( h^2 = p \cdot k \). Verilenlere göre, \( h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \). Buradan \( h = \sqrt{36} = 6 \) cm bulunur.

Soru 2: Aşağıdaki şekilde verilen ABC dik üçgeninde [AB] ⊥ [AC] ve [AH] ⊥ [BC]'dir. |BH| = 3 cm ve |HC| = 12 cm olduğuna göre, |AH| kaç cm'dir?
a) \( 3\sqrt{2} \)   b) 5   c) \( 2\sqrt{6} \)   d) 6   e) \( 4\sqrt{3} \)
Cevap: D) 6
Çözüm: Öklid Teoremi'nin yükseklik bağıntısı kullanılır: \( |AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \). Verilen değerler yerine konulursa: \( |AH|^2 = 3 \cdot 12 = 36 \). Buradan \( |AH| = \sqrt{36} = 6 \) cm olarak bulunur.

Soru 3: Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik 8 cm'dir. Bu yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçalardan birinin uzunluğu 4 cm olduğuna göre, diğer parçanın uzunluğu kaç cm'dir?
a) 8   b) 12   c) 14   d) 16   e) 18
Cevap: D) 16
Çözüm: Öklid Teoremi'ndeki yükseklik bağıntısı \( h^2 = p \cdot k \) formülüyle çözülür. \( h = 8 \) cm ve \( p = 4 \) cm verilmiştir. \( 8^2 = 4 \cdot k \) → \( 64 = 4k \) → \( k = \frac{64}{4} = 16 \) cm bulunur.