9. Sınıf Öklid Teoremi Nedir?

Question

Öklid Teoremi, dik üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiyi anlatan bir konu. Özellikle hipotenüse ait yüksekliğin, kenarlarla olan bağlantısını formüllerle gösteriyor. Ben de tam olarak hangi formülün nerede kullanılacağını karıştırıyorum.

Answer 1

Öklid Teoremi Nedir?

Öklid teoremi, dik üçgenlerde yükseklik ve kenar ilişkilerini açıklayan temel geometrik bir teoremdir. Bu teorem, bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin oluşturduğu özel bağıntıları ifade eder.

Teoremin İki Ayrı Kuralı

Öklid teoremi iki farklı bağıntıdan oluşur:

• 1. Öklid Bağıntısı: Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı, yüksekliğin karesine eşittir.
• 2. Öklid Bağıntısı: Dik kenarların kareleri, hipotenüs ile bu kenarlara ait izdüşümlerin çarpımına eşittir.

Matematiksel Gösterim

Aşağıdaki şekilde verilen ABC dik üçgeninde (|Â| = 90°):

• \( h \) = hipotenüse ait yükseklik
• \( p \) = a kenarının hipotenüsteki izdüşümü
• \( k \) = b kenarının hipotenüsteki izdüşümü

Teoremin formülleri:

• 1. \( h^2 = p \cdot k \)
• 2. \( a^2 = p \cdot c \) ve \( b^2 = k \cdot c \)

Örnek Uygulama

Bir dik üçgende hipotenüs 10 cm, yükseklik 6 cm ise:

• 1. Öklid bağıntısıyla: \( 6^2 = p \cdot k \) → \( 36 = p \cdot k \)
• Hipotenüs: \( p + k = 10 \) cm

Bu denklemler çözülerek \( p \) ve \( k \) değerleri bulunabilir.

Önemli Hatırlatma

Öklid teoremi yalnızca dik üçgenlerde geçerlidir. Problem çözümlerinde Pisagor teoremi ile birlikte sıklıkla kullanılır.

Answer 2

9. Sınıf Öklid Teoremi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik 12 cm ve bu yüksekliğin ayırdığı parçalardan biri 9 cm'dir. Buna göre, diğer parçanın uzunluğu kaç cm'dir? (Öklid Teoremi'ne göre)
a) 10 cm
b) 12 cm
c) 15 cm
d) 16 cm
e) 18 cm
Cevap: d) 16 cm
Çözüm: Öklid Teoremi'ne göre \( h^2 = p \cdot k \) ve \( 12^2 = 9 \cdot k \). Buradan \( k = \frac{144}{9} = 16 \) cm bulunur.

Soru 2: Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
a) 3,6 cm
b) 4,2 cm
c) 4,8 cm
d) 5,2 cm
e) 6 cm
Cevap: c) 4,8 cm
Çözüm: Hipotenüs \( \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \) cm'dir. Öklid bağıntısı \( h = \frac{a \cdot b}{c} \) ile \( h = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4,8 \) cm hesaplanır.

Soru 3: Bir dik üçgende dik kenarlardan birinin hipotenüs üzerindeki izdüşümü 4 cm ve hipotenüsün tamamı 25 cm'dir. Bu dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
a) 5 cm
b) 10 cm
c) 12 cm
d) 15 cm
e) 20 cm
Cevap: b) 10 cm
Çözüm: Öklid Teoremi \( a^2 = p \cdot c \) formülüyle \( a^2 = 4 \cdot 25 \) ve \( a = \sqrt{100} = 10 \) cm bulunur.