📘 Bir Polinomun (x-a) ile Bölümünden Kalan: P(a)
Polinomlarda bölme işlemi yaparken, özellikle bir polinomun (x - a) gibi bir ifadeye bölümünden kalanı bulmak için pratik bir yöntem bulunmaktadır. Bu yöntem, Polinomlarda Kalan Teoremi olarak bilinir ve oldukça kullanışlıdır.
🎯 Kalan Teoremi Nedir?
Bir P(x) polinomunun (x - a) ile bölümünden kalan, doğrudan P(a)'ya eşittir. Yani, x yerine a yazdığımızda bulduğumuz değer, bölme işleminden kalandır.
Matematiksel olarak ifade edersek:
\( P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + K \)
Burada:
- ➡️ P(x): Bölünen polinom
- ➡️ (x - a): Bölen
- ➡️ Q(x): Bölüm
- ➡️ K: Kalan
Kalan teoremine göre, K = P(a)'dır.
💡 Nasıl Uygulanır?
Kalanı bulmak için şu adımları izleyebilirsiniz:
- 📌 Bölen ifadeyi sıfıra eşitleyin: x - a = 0
- 📌 Bu denklemden x = a değerini bulun.
- 📌 Bulduğunuz a değerini, polinomda x yerine yazın.
- 📌 Hesapladığınız P(a) değeri, aradığınız kalandır.
📝 Örneklerle Açıklama
✨ Örnek 1:
P(x) = x² + 3x + 2 polinomunun (x - 1) ile bölümünden kalanı bulalım.
- ➡️ Bölen: (x - 1) → x - 1 = 0 → x = 1
- ➡️ Polinomda x yerine 1 yazalım: P(1) = (1)² + 3·(1) + 2
- ➡️ Hesaplayalım: P(1) = 1 + 3 + 2 = 6
✅ Kalan: 6
✨ Örnek 2:
P(x) = 2x³ - 4x + 5 polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalanı bulalım.
- ➡️ Bölen: (x + 2) → x + 2 = 0 → x = -2
- ➡️ Polinomda x yerine -2 yazalım: P(-2) = 2·(-2)³ - 4·(-2) + 5
- ➡️ Hesaplayalım: P(-2) = 2·(-8) + 8 + 5 = -16 + 8 + 5 = -3
✅ Kalan: -3
🎓 Önemli Noktalar
- 📌 Kalan teoremi sadece (x - a) gibi birinci dereceden bölenler için geçerlidir.
- 📌 Bölen (x + a) şeklindeyse, x + a = 0 → x = -a alınır.
- 📌 Kalan her zaman bölenden daha düşük derecelidir. (x - a) birinci dereceden olduğu için kalan bir sabit sayıdır.
- 📌 Bu yöntem, uzun bölme işlemi yapmadan kalanı hızlıca bulmamızı sağlar.
🔍 Pratik Uygulama
Kalan teoremini kullanarak aşağıdaki soruyu çözelim:
"P(x) = 3x⁴ - 2x² + x - 7 polinomunun (x - 2) ile bölümünden kalan kaçtır?"
- ➡️ x - 2 = 0 → x = 2
- ➡️ P(2) = 3·(2)⁴ - 2·(2)² + (2) - 7
- ➡️ P(2) = 3·16 - 2·4 + 2 - 7 = 48 - 8 + 2 - 7 = 35
✅ Cevap: 35
