Bir bisikletli doğrusal bir yolda hareket ederken konum denklemi \( x(t) = 2t^2 + 3t + 1 \) (x metre, t saniye) olarak veriliyor. Buna göre bisikletlinin t=2 saniyedeki anlık hızı kaç m/s'dir?
A) 7Sevgili öğrenciler, bu soruda bir bisikletlinin konum denklemi verilmiş ve belirli bir andaki anlık hızı isteniyor. Fizikte ve matematikte bu tür problemleri çözmek için türev alma kavramını kullanırız. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
Bize bisikletlinin konum denklemi $x(t) = 2t^2 + 3t + 1$ olarak verilmiş. Burada $x(t)$, bisikletlinin $t$ anındaki konumunu (metre cinsinden) ifade eder. Yani, zaman değiştikçe bisikletlinin konumu bu denkleme göre değişir.
Anlık hız, bir cismin belirli bir zaman anındaki hızıdır. Matematiksel olarak, konum denkleminin zamana göre türevi bize anlık hız denklemini verir. Eğer konum $x(t)$ ise, anlık hız $v(t) = \frac{dx}{dt}$ ile bulunur.
Şimdi verilen $x(t) = 2t^2 + 3t + 1$ denkleminin zamana göre türevini alarak hız denklemi $v(t)$'yi bulalım. Türev kurallarını hatırlarsak:
Öncelikle $2t^2$ teriminin türevini alalım. Üs başa gelir ve üs bir azaltılır. Bu da $2 \times 2t^{2-1} = 4t$ sonucunu verir.
Ardından $3t$ teriminin türevini alalım. $t$'nin üssü 1 olduğu için $3 \times 1t^{1-1} = 3t^0 = 3 \times 1 = 3$ olur.
Son olarak, $1$ (sabit sayı) teriminin türevi sıfırdır.
Bu terimleri topladığımızda, hız denklemi $v(t) = 4t + 3$ olur.
Bizden $t=2$ saniyedeki anlık hız isteniyor. Bulduğumuz hız denklemi $v(t) = 4t + 3$ içinde $t$ yerine $2$ yazalım:
$v(2) = 4 \times (2) + 3$
$v(2) = 8 + 3$
$v(2) = 11$ m/s
Buna göre bisikletlinin $t=2$ saniyedeki anlık hızı $11$ m/s'dir.
Cevap C seçeneğidir.
