Soru:
Bir parçacığın konumu \( x(t) = 4\cos(2t) \) (metre) denklemi ile veriliyor. Bu parçacığın \( t = \frac{\pi}{4} \) saniyedeki anlık hızını hesaplayınız. (Not: \( \cos(t) \) fonksiyonunun türevi \( -\sin(t) \)'dir.)
Çözüm:
💡 Trigonometrik bir fonksiyonun türevini alırken zincir kuralını unutmayalım.
- ➡️ 1. Adım: Konum denkleminin türevini (hızı) bulalım: \( x(t) = 4\cos(2t) \)
- ➡️ 2. Adım: Zincir kuralını uygulayalım. Dıştaki fonksiyon \( 4\cos(u) \), içteki fonksiyon ise \( u=2t \). \( \frac{d}{dt}[\cos(u)] = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dt} \)
- ➡️ 3. Adım: Türevi hesaplayalım: \( v(t) = 4 \cdot (-\sin(2t)) \cdot 2 = -8\sin(2t) \)
- ➡️ 4. Adım: \( t = \frac{\pi}{4} \) yerine koyalım: \( v(\frac{\pi}{4}) = -8\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -8\sin(\frac{\pi}{2}) = -8 \cdot 1 \)
✅ Sonuç: Parçacığın \( t = \frac{\pi}{4} \) s anındaki anlık hızı -8 m/s'dir. Eksi işareti, hız vektörünün negatif yönde olduğunu gösterir.
