Soru:
Bir parçacığın yörüngesi üzerindeki konumu \( y(x) = 4x^2 - 2x + 8 \) fonksiyonu ile tanımlanmıştır. Eğer parçacık x ekseni boyunca \( v_x = 5 \) m/s sabit hızla hareket ediyorsa, \( x = 2 \) m konumundaki anlık hız vektörünün büyüklüğü (\( v \)) nedir?
Çözüm:
Burada hız vektörünün bileşenlerini bulmamız gerekiyor. ✨ Anlık hızın büyüklüğü \( v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \) formülü ile bulunur.
- ➡️ Adım 1: Yatay hız bileşeni \( v_x \) zaten verilmiş: \( 5 \) m/s.
- ➡️ Adım 2: Düşey hız bileşeni \( v_y \)'yi bulalım. \( v_y = \frac{dy}{dt} \)'dir. Zincir kuralını uygulayalım:
\( v_y = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^2 - 2x + 8) = 8x - 2 \)
\( \frac{dx}{dt} = v_x = 5 \) m/s
Buradan, \( v_y = (8x - 2) \cdot 5 \)
- ➡️ Adım 3: \( x = 2 \) m değerini \( v_y \) ifadesinde yerine koyalım.
\( v_y = (8(2) - 2) \cdot 5 = (16 - 2) \cdot 5 = 14 \cdot 5 = 70 \) m/s
- ➡️ Adım 4: Hız vektörünün büyüklüğünü bulalım.
\( v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(5)^2 + (70)^2} = \sqrt{25 + 4900} = \sqrt{4925} \)
\( v = \sqrt{25 \times 197} = 5\sqrt{197} \) m/s
✅ Sonuç: Parçacığın \( x = 2 \) m konumundaki anlık hızının büyüklüğü \( 5\sqrt{197} \) m/s'dir.
