10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitel Özellikleri Test 2

f: R → R, f(x) = x³ - 3x² + 2 fonksiyonu veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu fonksiyonun bir yerel ekstremum noktasıdır?

A) x = 0
B) x = 1
C) x = 2
D) x = 3

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını (yerel maksimum veya yerel minimum) bulmak için genellikle türev testlerini kullanırız. Bu adımları sırasıyla uygulayalım:

• Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma

• Yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevini ($f'(x)$) almamız gerekir. Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ şeklindedir.

  Türev kurallarını uygulayarak $f'(x)$'i bulalım:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2)$

  $f'(x) = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} + 0$

  $f'(x) = 3x^2 - 6x$

• Adım 2: Kritik Noktaları Bulma

• Yerel ekstremum noktalarının adayları, birinci türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. Polinom fonksiyonlar her yerde tanımlı ve türevlenebilir olduğu için, sadece $f'(x) = 0$ denklemini çözmemiz yeterlidir.

  $3x^2 - 6x = 0$

  Bu denklemi çözmek için ortak çarpan parantezine alalım:

  $3x(x - 2) = 0$

  Bu eşitliğin sağlanması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir:

  • $3x = 0 \Rightarrow x = 0$
  • $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

  Böylece, kritik noktalarımız $x = 0$ ve $x = 2$ olarak bulunur. Bu noktalar yerel ekstremum noktaları olabilir.

• Adım 3: Kritik Noktaların Türünü Belirleme (İkinci Türev Testi)

• Kritik noktaların yerel maksimum mu yoksa yerel minimum mu olduğunu anlamak için ikinci türev testini kullanabiliriz. Bunun için önce fonksiyonun ikinci türevini ($f''(x)$) bulmamız gerekir.

  $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x)$

  $f''(x) = 3 \cdot 2x^{2-1} - 6 \cdot 1x^{1-1}$

  $f''(x) = 6x - 6$

  Şimdi bulduğumuz kritik noktaları ikinci türevde yerine koyarak işaretlerini inceleyelim:

  • $x = 0$ için:
  • $f''(0) = 6(0) - 6 = -6$
  • $f''(0) < 0$ olduğu için, $x = 0$ noktasında bir yerel maksimum vardır.
  • $x = 2$ için:
  • $f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6$
  • $f''(2) > 0$ olduğu için, $x = 2$ noktasında bir yerel minimum vardır.
• Adım 4: Seçenekleri Değerlendirme

• Bulduğumuz yerel ekstremum noktaları $x = 0$ (yerel maksimum) ve $x = 2$ (yerel minimum) noktalarıdır. Soru, "aşağıdakilerden hangisi bu fonksiyonun bir yerel ekstremum noktasıdır?" diye sormaktadır. Seçeneklere baktığımızda:

  • A) $x = 0$ (Bir yerel ekstremum noktasıdır - yerel maksimum)
  • B) $x = 1$ (Bir kritik nokta değildir)
  • C) $x = 2$ (Bir yerel ekstremum noktasıdır - yerel minimum)
  • D) $x = 3$ (Bir kritik nokta değildir)

  Hem $x=0$ hem de $x=2$ birer yerel ekstremum noktasıdır. Seçeneklerde bu noktalardan biri veya birkaçı bulunabilir. Verilen seçenekler arasında $x=2$ yer almaktadır ve bu nokta bir yerel ekstremum noktasıdır.

Cevap C seçeneğidir.