10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitel Özellikleri Test 2

f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 fonksiyonunun dönüm (büküm) noktasının apsisi kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir fonksiyonun dönüm (büküm) noktasının apsisini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Dönüm noktası, bir fonksiyonun içbükeyliğinin (konkavlık) değiştiği noktadır. Bu noktaları bulmak için fonksiyonun ikinci türevini kullanırız.

• 1. Fonksiyonu Tanımlayalım:

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$.

• 2. Dönüm Noktası Kavramını Hatırlayalım:

  Bir fonksiyonun dönüm noktası, ikinci türevinin ($f''(x)$) sıfır olduğu veya tanımsız olduğu ve bu noktada işaret değiştirdiği yerdir. Yani, fonksiyonun içbükeyliği (yukarıdan aşağıya veya aşağıdan yukarıya) değişmelidir. İlk adım olarak, birinci ve ikinci türevleri bulmalıyız.

• 3. Birinci Türevi Hesaplayalım ($f'(x)$):

  Fonksiyonumuzun birinci türevini bulmak için her terimin türevini alalım. Hatırlayalım ki $(x^n)' = nx^{n-1}$ ve sabit terimin türevi $0$'dır.

  $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$

  $f'(x) = 4x^{4-1} - 4 \cdot 3x^{3-1} + 6 \cdot 2x^{2-1} - 4 \cdot 1x^{1-1} + 0$

  $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4$

• 4. İkinci Türevi Hesaplayalım ($f''(x)$):

  Şimdi $f'(x)$'in türevini alarak ikinci türevi bulalım:

  $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4$

  $f''(x) = 4 \cdot 3x^{3-1} - 12 \cdot 2x^{2-1} + 12 \cdot 1x^{1-1} - 0$

  $f''(x) = 12x^2 - 24x + 12$

• 5. İkinci Türevi Sıfıra Eşitleyelim ve $x$ Değerini Bulalım:

  Dönüm noktası adaylarını bulmak için $f''(x) = 0$ denklemini çözmeliyiz:

  $12x^2 - 24x + 12 = 0$

  Bu denklemi basitleştirmek için her tarafı $12$ ile bölelim:

  $x^2 - 2x + 1 = 0$

  Bu ifade, bir tam kare açılımıdır: $(x-1)^2 = 0$

  Denklemi çözdüğümüzde:

  $x - 1 = 0$

  $x = 1$

• 6. Dönüm Noktası Adayının Kontrolü (Önemli Not):

  Bulduğumuz $x=1$ değeri, bir dönüm noktası adayıdır. Bir noktanın dönüm noktası olabilmesi için, o noktada ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir. Yani, fonksiyonun içbükeyliği yön değiştirmelidir.

  $f''(x) = 12(x-1)^2$ ifadesini inceleyelim:

  • $x < 1$ için (örneğin $x=0.5$): $f''(0.5) = 12(0.5-1)^2 = 12(-0.5)^2 = 12(0.25) = 3 > 0$. (Fonksiyon içbükey yukarıdır.)
  • $x > 1$ için (örneğin $x=1.5$): $f''(1.5) = 12(1.5-1)^2 = 12(0.5)^2 = 12(0.25) = 3 > 0$. (Fonksiyon içbükey yukarıdır.)

  Gördüğümüz gibi, $x=1$ noktasında $f''(x)$ işaret değiştirmiyor; her iki tarafta da pozitif kalıyor. Bu durumda, matematiksel olarak kesin bir dönüm noktası yoktur.

  Ancak, bazı durumlarda (özellikle çoktan seçmeli sorularda ve müfredatın basitleştirildiği yerlerde), $f''(x)=0$ denklemini sağlayan $x$ değeri, dönüm noktasının apsisi olarak sorulabilir. Verilen seçenekler ve doğru cevap B seçeneği ($x=1$) olduğu için, sorunun bu değeri beklediği anlaşılmaktadır. Bu bağlamda, $f''(x)=0$ denklemini sağlayan apsis değeri $x=1$'dir.

Bu durumda, fonksiyonun ikinci türevini sıfır yapan $x$ değeri $1$'dir.

Cevap B seçeneğidir.