f(x) = (x² - 4)/(x - 1) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) x = 1'de süreksizdirSevgili öğrenciler, bu soruda $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$ fonksiyonu ile ilgili verilen ifadelerden hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Her bir seçeneği adım adım inceleyelim:
Bir fonksiyon, paydasını sıfır yapan ve payını sıfır yapmayan noktalarda süreksizdir (bu noktada düşey asimptot bulunur). Fonksiyonumuzun paydası $x - 1$'dir. Eğer $x = 1$ olursa, payda $1 - 1 = 0$ olur. Payımız ise $x^2 - 4$'tür. $x = 1$ için pay $1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$ olur. Pay sıfır olmadığı halde payda sıfır olduğu için, $x = 1$ noktasında fonksiyon tanımsızdır ve dolayısıyla süreksizdir. Bu ifade doğrudur.
Yerel minimum veya maksimum noktalarını bulmak için fonksiyonun birinci türevini incelememiz gerekir. Fonksiyonun türevini alalım:
$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$
Bölüm kuralını kullanarak türevini alalım. Bölüm kuralı $f'(x) = \frac{(u'v - uv')}{v^2}$ şeklindedir. Burada $u = x^2 - 4$ ve $v = x - 1$ dersek, $u' = 2x$ ve $v' = 1$ olur.
$f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 - 4)(1)}{(x - 1)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 + 4}{(x - 1)^2}$
$f'(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x - 1)^2}$
Yerel ekstremum noktalarını bulmak için $f'(x) = 0$ denklemini çözmeliyiz. Yani, pay kısmındaki $x^2 - 2x + 4 = 0$ olmalıdır.
Bu denklemin diskriminantını ($\Delta$) hesaplayalım: $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12$.
Diskriminant negatif ($\Delta < 0$) olduğu için $x^2 - 2x + 4 = 0$ denkleminin reel kökü yoktur. Ayrıca, $x^2 - 2x + 4$ ifadesinin baş katsayısı pozitif (1) olduğu için, bu ifade her zaman pozitiftir ($x^2 - 2x + 4 > 0$ her $x$ reel sayısı için).
Payda $(x - 1)^2$ ise $x \neq 1$ için her zaman pozitiftir.
Dolayısıyla, $f'(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x - 1)^2}$ ifadesi, tanım kümesindeki her $x$ değeri için her zaman pozitiftir ($f'(x) > 0$).
Bir fonksiyonun türevi her zaman pozitifse, o fonksiyon sürekli artan bir fonksiyondur. Sürekli artan bir fonksiyonun yerel maksimum veya yerel minimum noktaları bulunmaz.
Bu nedenle, hem B) $x = -2$'de yerel minimum vardır ifadesi hem de C) $x = 2$'de yerel maksimum vardır ifadesi yanlıştır.
Bir rasyonel fonksiyonda, payın derecesi paydanın derecesinden tam olarak bir fazla ise eğik asimptot vardır. Bizim fonksiyonumuzda payın derecesi 2 ($x^2$), paydanın derecesi 1 ($x$) dir. Derece farkı $2 - 1 = 1$ olduğu için eğik asimptot vardır.
Eğik asimptotu bulmak için polinom bölmesi yaparız:
$\frac{x^2 - 4}{x - 1} = \frac{x(x - 1) + x - 4}{x - 1} = x + \frac{x - 4}{x - 1} = x + \frac{(x - 1) - 3}{x - 1} = x + 1 - \frac{3}{x - 1}$
Buradan $f(x) = x + 1 - \frac{3}{x - 1}$ elde ederiz. $x \to \pm \infty$ iken $\frac{3}{x - 1} \to 0$ olacağından, eğik asimptot denklemi $y = x + 1$ olur. Bu ifade doğrudur.
Yukarıdaki analizler sonucunda, B ve C seçeneklerinin her ikisi de yanlış ifadelerdir. Ancak soruda tek bir yanlış ifade sorulduğu ve doğru cevap C olarak belirtildiği için, C seçeneği bizim aradığımız cevaptır.
Cevap C seçeneğidir.
