k(x) = sin(x) + cos(x) fonksiyonu [0, π/2] aralığında inceleniyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu fonksiyonun bu aralıktaki davranışını doğru şekilde ifade eder?
A) Aralığın tamamında artandırBir fonksiyonun belirli bir aralıktaki davranışını (artan mı, azalan mı) belirlemek için, fonksiyonun birinci türevini alıp bu türevin işaretini incelememiz gerekir. Türevin pozitif olduğu yerlerde fonksiyon artan, negatif olduğu yerlerde ise azalandır.
Verilen fonksiyon $k(x) = \sin(x) + \cos(x)$ şeklindedir. Bu fonksiyonun birinci türevini alalım:
$k'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x) + \cos(x))$
Trigonometrik fonksiyonların türev kurallarını hatırlarsak:
$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$
$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$
Bu durumda, $k'(x)$ türevi şu şekilde bulunur:
$k'(x) = \cos(x) - \sin(x)$
Fonksiyonun artan veya azalan davranışının değiştiği noktaları (kritik noktaları) bulmak için türevi sıfıra eşitleriz:
$k'(x) = 0$
$\cos(x) - \sin(x) = 0$
$\cos(x) = \sin(x)$
Bu denklemi çözmek için her iki tarafı $\cos(x)$'e bölebiliriz (verilen aralık $[0, \pi/2]$ içinde $x = \pi/2$ dışında $\cos(x) \neq 0$'dır ve $x = \pi/2$ denklemi sağlamaz):
$1 = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
$1 = \tan(x)$
Verilen aralık $[0, \pi/2]$ (yani $0^\circ$ ile $90^\circ$ arası) içinde $\tan(x) = 1$ denklemini sağlayan tek değer $x = \pi/4$ (yani $45^\circ$)'tür. Bu, bizim kritik noktamızdır.
Kritik nokta $x = \pi/4$, $[0, \pi/2]$ aralığını iki alt aralığa böler: $[0, \pi/4)$ ve $(\pi/4, \pi/2]$. Şimdi bu aralıklarda $k'(x)$'in işaretini inceleyelim.
Aralık 1: $[0, \pi/4)$
Bu aralıktan bir test değeri seçelim, örneğin $x = \pi/6$ ($30^\circ$).
$k'(\pi/6) = \cos(\pi/6) - \sin(\pi/6)$
$k'(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$
Yaklaşık olarak $\sqrt{3} \approx 1.732$ olduğundan, $\sqrt{3}-1$ pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla $k'(\pi/6) > 0$.
Türev bu aralıkta pozitif olduğu için, fonksiyon $k(x)$ bu aralıkta artandır.
Aralık 2: $(\pi/4, \pi/2]$
Bu aralıktan bir test değeri seçelim, örneğin $x = \pi/3$ ($60^\circ$).
$k'(\pi/3) = \cos(\pi/3) - \sin(\pi/3)$
$k'(\pi/3) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$
Yaklaşık olarak $\sqrt{3} \approx 1.732$ olduğundan, $1-\sqrt{3}$ negatif bir sayıdır. Dolayısıyla $k'(\pi/3) < 0$.
Türev bu aralıkta negatif olduğu için, fonksiyon $k(x)$ bu aralıkta azalandır.
Yaptığımız incelemelere göre, $k(x)$ fonksiyonu $[0, \pi/4)$ aralığında artan, $(\pi/4, \pi/2]$ aralığında ise azalandır. Bu da fonksiyonun önce arttığı, sonra azaldığı anlamına gelir.
Cevap C seçeneğidir.
