Bir fonksiyon işlemcisi, \( f(x) = x^2 - 4x + 7 \) fonksiyonunun tepe noktasını bulmak için algoritma geliştiriyor. \( f(x) = a(x-h)^2 + k \) formuna dönüştürüldüğünde tepe noktasının koordinatları nedir?
A) (2, 3)Bir parabolün tepe noktasını bulmak için çok önemli bir yöntemi, tam kareye tamamlama yöntemini kullanarak bir fonksiyonu standart tepe noktası formuna dönüştüreceğiz. Bu yöntem, fonksiyonun grafiğini anlamak ve tepe noktasını kolayca belirlemek için anahtardır.
Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 4x + 7$. Bu bir parabol denklemi ve bizden bu denklemi $f(x) = a(x-h)^2 + k$ formuna dönüştürmemiz isteniyor. Bu formda $(h, k)$ noktası parabolün tepe noktasıdır.
Denklemdeki $x^2$ ve $x$ terimlerine odaklanalım: $x^2 - 4x$. Amacımız bu ifadeyi bir şeyin karesi şeklinde yazmak. Yani $(x-c)^2$ gibi bir ifade elde etmek. Hatırlayalım ki $(x-c)^2 = x^2 - 2cx + c^2$ şeklindedir.
Bizim ifademizde $x^2 - 4x$ var. Buradaki $-4x$ terimi, $-2cx$ terimine karşılık geliyor. Yani $-2c = -4$ ise, $c = 2$ olmalıdır.
O zaman, tam kare ifade $(x-2)^2$ olacaktır. Bu ifadeyi açtığımızda $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ elde ederiz.
Şimdi orijinal fonksiyonda $x^2 - 4x$ yerine $(x^2 - 4x + 4) - 4$ yazabiliriz. Yani 4 ekleyip 4 çıkararak ifadenin değerini değiştirmemiş oluruz:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7$
Parantez içindeki ifadeyi tam kare olarak yazalım:
$f(x) = (x - 2)^2 - 4 + 7$
Şimdi kalan sabit terimleri toplayalım:
$f(x) = (x - 2)^2 + 3$
Fonksiyonumuzu $f(x) = (x - 2)^2 + 3$ olarak bulduk. Bu ifadeyi genel tepe noktası formu olan $f(x) = a(x-h)^2 + k$ ile karşılaştıralım:
Dolayısıyla, parabolün tepe noktasının koordinatları $(h, k) = (2, 3)$'tür.
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
