Çift fonksiyon nedir (f(-x) = f(x)) Test 2

Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları çift fonksiyonlardır. Buna göre,
I. f(x) + g(x)
II. f(x) - g(x)
III. f(x) × g(x)
ifadelerinden hangileri her zaman çift fonksiyondur?

A) Yalnız I
B) I ve II
C) II ve III
D) I, II ve III

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda çift fonksiyonların özelliklerini kullanarak verilen ifadelerin çift fonksiyon olup olmadığını inceleyeceğiz. Bir fonksiyonun çift fonksiyon olması ne anlama geliyor, önce onu hatırlayalım.

• Çift Fonksiyon Nedir?

  Bir $h(x)$ fonksiyonunun çift fonksiyon olması demek, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $h(-x) = h(x)$ eşitliğinin sağlanması demektir. Yani, fonksiyonun grafiği $y$-eksenine göre simetriktir.

  Soruda bize $f$ ve $g$ fonksiyonlarının çift fonksiyon olduğu verilmiş. Bu durumda, tanım gereği:

  • $f(-x) = f(x)$
  • $g(-x) = g(x)$

  Şimdi, verilen her bir ifadeyi tek tek inceleyelim.

• I. $f(x) + g(x)$ ifadesini inceleyelim.

  Bu ifadeye yeni bir fonksiyon diyelim: $h(x) = f(x) + g(x)$.

  $h(x)$'in çift fonksiyon olup olmadığını anlamak için $h(-x)$'i hesaplamalı ve $h(x)$'e eşit olup olmadığını kontrol etmeliyiz.

  • $h(-x) = f(-x) + g(-x)$
  • $f$ ve $g$ çift fonksiyonlar olduğu için, $f(-x) = f(x)$ ve $g(-x) = g(x)$ eşitliklerini yerine yazalım.
  • $h(-x) = f(x) + g(x)$

  Gördüğümüz gibi, $h(-x) = f(x) + g(x)$ ve bu da tam olarak $h(x)$'e eşittir. Yani, $h(-x) = h(x)$.

  Bu durumda, $f(x) + g(x)$ ifadesi her zaman çift fonksiyondur.

• II. $f(x) - g(x)$ ifadesini inceleyelim.

  Bu ifadeye yeni bir fonksiyon diyelim: $k(x) = f(x) - g(x)$.

  $k(x)$'in çift fonksiyon olup olmadığını anlamak için $k(-x)$'i hesaplamalı ve $k(x)$'e eşit olup olmadığını kontrol etmeliyiz.

  • $k(-x) = f(-x) - g(-x)$
  • $f$ ve $g$ çift fonksiyonlar olduğu için, $f(-x) = f(x)$ ve $g(-x) = g(x)$ eşitliklerini yerine yazalım.
  • $k(-x) = f(x) - g(x)$

  Gördüğümüz gibi, $k(-x) = f(x) - g(x)$ ve bu da tam olarak $k(x)$'e eşittir. Yani, $k(-x) = k(x)$.

  Bu durumda, $f(x) - g(x)$ ifadesi her zaman çift fonksiyondur.

• III. $f(x) \times g(x)$ ifadesini inceleyelim.

  Bu ifadeye yeni bir fonksiyon diyelim: $m(x) = f(x) \times g(x)$.

  $m(x)$'in çift fonksiyon olup olmadığını anlamak için $m(-x)$'i hesaplamalı ve $m(x)$'e eşit olup olmadığını kontrol etmeliyiz.

  • $m(-x) = f(-x) \times g(-x)$
  • $f$ ve $g$ çift fonksiyonlar olduğu için, $f(-x) = f(x)$ ve $g(-x) = g(x)$ eşitliklerini yerine yazalım.
  • $m(-x) = f(x) \times g(x)$

  Gördüğümüz gibi, $m(-x) = f(x) \times g(x)$ ve bu da tam olarak $m(x)$'e eşittir. Yani, $m(-x) = m(x)$.

  Bu durumda, $f(x) \times g(x)$ ifadesi her zaman çift fonksiyondur.

• Sonuç:

  Yaptığımız incelemeler sonucunda, verilen üç ifadenin de ($f(x) + g(x)$, $f(x) - g(x)$, $f(x) \times g(x)$) her zaman çift fonksiyon olduğunu bulduk.

  Bu durumda doğru seçenek, I, II ve III'ü içeren seçenektir.

Cevap D seçeneğidir.