Bir kesrin negatif üssü alındığında aşağıdaki işlemlerden hangisi yapılır?
A) Kesrin pay ve paydası aynı kalır
B) Kesrin pay ve paydasının yer değiştirip üssün pozitif hale getirilmesi
C) Kesrin sadece paydasının üssünün alınması
D) Kesrin sadece payının üssünün alınması
Sevgili öğrenciler, üslü sayılar konusunda negatif üsler, özellikle kesirlerle birleştiğinde bazen kafa karıştırıcı gibi görünebilir. Ama aslında çok basit ve mantıklı bir kuralı vardır. Gelin bu kuralı adım adım inceleyelim ve neden böyle olduğunu anlayalım:
- Negatif Üssün Temel Kuralı: Matematikte, bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssü alınması anlamına gelir. Yani, herhangi bir $a$ sayısı için $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ şeklinde bir kuralımız vardır. Bu kural, sayıyı paydasına alarak üssü pozitif yapar.
- Kesirler İçin Uygulama: Şimdi bu temel kuralı bir kesre uygulayalım. Diyelim ki $(\frac{a}{b})^{-n}$ şeklinde bir ifademiz var. Genel kurala göre, bu kesrin çarpmaya göre tersini alıp üssü pozitif yapmalıyız.
- Bir kesrin çarpmaya göre tersi, o kesrin pay ve paydasının yer değiştirmesi demektir. Yani, $\frac{a}{b}$ kesrinin çarpmaya göre tersi $\frac{b}{a}$'dır.
- Bu durumda, $(\frac{a}{b})^{-n}$ ifadesini adım adım açarsak:
- Önce genel kuralı uygulayalım: $(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n}$
- Paydadaki kesrin üssünü alalım: $\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}$
- Şimdi bu ifadeyi sadeleştirelim. Bir sayıyı bir kesre bölerken, böldüğümüz kesri ters çevirip çarparız: $1 \times \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}$
- Son olarak, $\frac{b^n}{a^n}$ ifadesi aynı zamanda $(\frac{b}{a})^n$ şeklinde de yazılabilir.
Bu adımlar bize açıkça gösteriyor ki, bir kesrin negatif üssü alındığında, kesrin pay ve paydasının yerini değiştirip üssü pozitif hale getirmemiz gerekir. Bu işlem, matematiksel olarak doğru ve aynı zamanda çok pratik bir yöntemdir. Örneğin, $(\frac{2}{3})^{-2}$ ifadesini ele alalım. Bu ifadeyi yukarıdaki kurala göre çözdüğümüzde, kesri ters çevirip üssü pozitif yaparız: $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$. Gördüğünüz gibi, işlem çok daha kolay ve anlaşılır hale geliyor!
- A) Kesrin pay ve paydası aynı kalır: Bu seçenek yanlıştır. Negatif üs, sayının kendisini değil, çarpmaya göre tersini etkiler.
- C) Kesrin sadece paydasının üssünün alınması: Bu seçenek yanlıştır. Üs, tüm kesri etkiler, sadece bir kısmını değil.
- D) Kesrin sadece payının üssünün alınması: Bu seçenek de yanlıştır. Aynı şekilde, üs tüm kesre uygulanır.
Bu nedenle, bir kesrin negatif üssü alındığında yapılması gereken işlem, kesrin pay ve paydasının yer değiştirip üssün pozitif hale getirilmesidir.
Cevap B seçeneğidir.
