Koordinat düzleminde bir üçgenin ağırlık merkezi G(5,7) noktasıdır. Köşelerden ikisi A(3,5) ve B(7,9) olduğuna göre, üçüncü köşe C'nin apsisi ile ordinatının toplamı kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün koordinat düzleminde üçgenin ağırlık merkezi ile ilgili harika bir problem çözeceğiz. Ağırlık merkezi, bir üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır ve koordinatları, köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur. Haydi adım adım çözümümüze geçelim!
- Ağırlık Merkezi Formülünü Hatırlayalım: Bir üçgenin köşeleri $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ ve $C(x_C, y_C)$ ise, ağırlık merkezi $G(x_G, y_G)$ şu formüllerle bulunur:
- $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
- $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$
- Verilen Bilgileri Yerine Yazalım:
- Ağırlık merkezi $G(5,7)$ olarak verilmiş. Yani $x_G = 5$ ve $y_G = 7$.
- Köşelerden ikisi $A(3,5)$ ve $B(7,9)$ olarak verilmiş. Yani $x_A = 3$, $y_A = 5$, $x_B = 7$, $y_B = 9$.
- Üçüncü köşe $C(x_C, y_C)$ olsun. Bizden $x_C + y_C$ toplamı isteniyor.
- $x_C$ Değerini Bulalım: Ağırlık merkezinin x-koordinatı formülünü kullanarak $x_C$ değerini hesaplayalım:
- $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
- $5 = \frac{3 + 7 + x_C}{3}$
- $5 \times 3 = 10 + x_C$
- $15 = 10 + x_C$
- $x_C = 15 - 10$
- $x_C = 5$
- $y_C$ Değerini Bulalım: Ağırlık merkezinin y-koordinatı formülünü kullanarak $y_C$ değerini hesaplayalım:
- $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$
- $7 = \frac{5 + 9 + y_C}{3}$
- $7 \times 3 = 14 + y_C$
- $21 = 14 + y_C$
- $y_C = 21 - 14$
- $y_C = 7$
- C Köşesinin Apsis ve Ordinat Toplamını Bulalım: Üçüncü köşe $C(x_C, y_C)$ noktasının koordinatlarını $C(5,7)$ olarak bulduk. Şimdi apsisi ile ordinatının toplamını hesaplayalım:
Böylece üçüncü köşe C'nin apsisi ile ordinatının toplamını $12$ olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
