Sevgili öğrenciler, bu tür logaritma sorularında amacımız, verilen ifadeyi (burada $\log_3 72$) bilinen ifade (burada $\log_3 2 = a$) cinsinden yazabilmek için logaritma özelliklerini kullanmaktır. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: İfadeyi Basitleştirme
- Öncelikle, bizden istenen $\log_3 72$ ifadesindeki $72$ sayısını, tabanımız olan $3$ ve bize verilen $a$ değerinin içinde geçen $2$ sayılarını kullanarak çarpanlarına ayırmalıyız.
- $72$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım veya $2$ ve $3$'ün kuvvetleri şeklinde yazmaya çalışalım:
- $72 = 8 \times 9$
- Bu çarpanları $2$ ve $3$'ün kuvvetleri olarak yazabiliriz:
- $8 = 2^3$
- $9 = 3^2$
- Şimdi $72$ yerine bu ifadeleri yazalım: $72 = 2^3 \times 3^2$.
- Adım 2: Logaritma Özelliklerini Uygulama
- Şimdi $\log_3 72$ ifadesini, bulduğumuz çarpanlar cinsinden yazalım:
- $\log_3 72 = \log_3 (2^3 \times 3^2)$
- Logaritmanın çarpım özelliğini hatırlayalım: $\log_b (M \times N) = \log_b M + \log_b N$. Bu özelliği uygulayalım:
- $\log_3 (2^3 \times 3^2) = \log_3 (2^3) + \log_3 (3^2)$
- Adım 3: Kuvvet Özelliğini Uygulama
- Şimdi logaritmanın kuvvet özelliğini hatırlayalım: $\log_b (M^k) = k \times \log_b M$. Bu özelliği her iki terime de uygulayalım:
- $\log_3 (2^3) = 3 \times \log_3 2$
- $\log_3 (3^2) = 2 \times \log_3 3$
- İfadeleri birleştirelim:
- $\log_3 72 = (3 \times \log_3 2) + (2 \times \log_3 3)$
- Adım 4: Bilinen Değerleri Yerine Koyma
- Bize sorunun başında $\log_3 2 = a$ olarak verilmişti.
- Ayrıca, logaritmanın temel özelliklerinden biri olan $\log_b b = 1$ kuralına göre $\log_3 3 = 1$'dir.
- Bu değerleri son ifademizde yerine koyalım:
- $\log_3 72 = (3 \times a) + (2 \times 1)$
- $\log_3 72 = 3a + 2$
Böylece $\log_3 72$ ifadesinin $a$ türünden eşitini $3a + 2$ olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
