Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Unutmayın, matematik öğrenmek keyifli bir yolculuktur!
Öncelikle soruda verilen bilgileri dikkatlice inceleyelim:
- $f: A \rightarrow B$ fonksiyonu bire birdir. Bu ne anlama geliyor? Bire bir fonksiyon, A kümesindeki her elemanın B kümesinde farklı bir elemana eşlenmesi demektir. Yani, A kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı olmalıdır.
- $f(1) = 5$, $f(2) = 3$ ve $f(3) = 7$ bilgileri verilmiş. Bu, A kümesindeki 1 elemanı B kümesindeki 5 elemanına, 2 elemanı 3 elemanına ve 3 elemanı 7 elemanına eşleniyor demektir.
Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
- A) {1, 2, 3, 4}: Eğer A kümesi {1, 2, 3, 4} olursa, f(4)'ün de bir değere sahip olması gerekir. Ancak soruda f(4) ile ilgili bir bilgi verilmemiş. Ayrıca, f fonksiyonunun bire bir olma özelliğini koruması için f(4)'ün 5, 3 veya 7'den farklı bir değer olması gerekir. Bu durumda A kümesi {1, 2, 3, 4} olabilir. Ancak soruda kesin olarak hangisi olabilir diye sorulduğu için diğer seçenekleri de kontrol etmeliyiz.
- B) {1, 2, 3}: A kümesi {1, 2, 3} ise, verilen $f(1) = 5$, $f(2) = 3$ ve $f(3) = 7$ bilgileriyle tam olarak eşleşir. Yani, A kümesindeki her elemanın bir karşılığı var ve fonksiyon bire bir özelliğini sağlıyor. Bu nedenle A kümesi {1, 2, 3} olabilir.
- C) {5, 3, 7}: Bu küme, B kümesinin bir alt kümesi olabilir. A kümesi, fonksiyonun tanım kümesi (girdi değerleri) olmalıdır. Verilen bilgilerde A kümesindeki elemanların 1, 2 ve 3 olduğu belirtilmiştir. Bu nedenle A kümesi {5, 3, 7} olamaz.
- D) {1, 2}: Eğer A kümesi {1, 2} ise, f(3) tanımlı olamaz. Çünkü fonksiyonun tanım kümesi eksik olur. Bu nedenle A kümesi {1, 2} olamaz.
Sonuç olarak, verilen bilgilere göre A kümesi kesinlikle {1, 2, 3} olabilir. Diğer seçeneklerdeki kümeler A kümesi olamaz.
Cevap B seçeneğidir.
