6. sınıf Fen Bilimleri Kuvvet ve Hareket ünitesi konu anlatımı Test 2

Kütlesi 2 kg olan bir cisim, sürtünmesiz yatay düzlemde F = 6x + 4 (N) kuvveti etkisinde hareket ediyor. Cismin x = 0'dan x = 2 metreye kadar olan yer değiştirmesinde kuvvetin yaptığı iş kaç Joule'dür?

A) 12
B) 16
C) 20
D) 24

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, konuma bağlı olarak değişen bir kuvvetin yaptığı işi hesaplayacağız. Fizikte iş kavramı, bir kuvvetin bir cismi kendi etki doğrultusunda hareket ettirmesiyle ilişkilidir. Kuvvet sabit olduğunda işi $W = F \cdot \Delta x$ formülüyle buluruz. Ancak kuvvet konuma göre değişiyorsa, işi integral alarak hesaplamamız gerekir. Haydi adım adım bu problemi çözelim!

• Problemi Anlayalım ve Verilenleri Belirleyelim:

  Öncelikle soruda bize hangi bilgilerin verildiğini ve neyi bulmamız gerektiğini netleştirelim:

  • Cismin kütlesi ($m$) = $2$ kg. (Bu bilgi, iş hesaplamasında doğrudan kullanılmasa da, problemde verilen bir bilgidir.)
  • Cisme etki eden kuvvet ($F$) = $6x + 4$ N. Bu ifade, kuvvetin konum ($x$) ile değiştiğini gösterir. Yani, cisim farklı konumlardayken üzerine etki eden kuvvetin büyüklüğü de farklı olacaktır.
  • Cismin yer değiştirmesi: $x_1 = 0$ metreden $x_2 = 2$ metreye kadar.
  • Düzlem sürtünmesizdir, bu da sürtünme kuvvetinin yaptığı işi hesaba katmamıza gerek olmadığı anlamına gelir.
  • Aradığımız şey: Bu kuvvetin cisim üzerinde yaptığı toplam iş ($W$).
• Değişken Kuvvetin Yaptığı İşi Hesaplama Prensibi:

  Bir cisim üzerine etki eden kuvvet konuma bağlı olarak değişiyorsa (yani değişken bir kuvvetse), bu kuvvetin belirli bir yer değiştirme aralığında yaptığı iş, kuvvet fonksiyonunun yer değiştirmeye göre integralini alarak bulunur. Bu, kuvvet-konum grafiğinin altında kalan alanı bulmaya benzer.

  Matematiksel olarak bu prensip şu formülle ifade edilir:

  $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$

  Burada $W$ yapılan işi, $F(x)$ konuma bağlı kuvveti, $x_1$ başlangıç konumunu ve $x_2$ bitiş konumunu temsil eder.

• Formülü Uygulayalım:

  Şimdi elimizdeki kuvvet fonksiyonunu ($F(x) = 6x + 4$) ve yer değiştirme sınırlarını ($x_1 = 0$, $x_2 = 2$) formülümüze yerleştirelim:

  $W = \int_{0}^{2} (6x + 4) dx$

• İntegrali Çözelim:

  İntegral alma kurallarını hatırlayarak $(6x + 4)$ ifadesinin belirsiz integralini alalım:

  • $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ kuralını $6x$ terimi için uygulayalım: $\int 6x dx = 6 \frac{x^{1+1}}{1+1} = 6 \frac{x^2}{2} = 3x^2$.
  • $\int c dx = cx + C$ kuralını $4$ terimi için uygulayalım: $\int 4 dx = 4x$.

  Böylece, integralin sonucu (belirsiz integral hali) $3x^2 + 4x$ olur. Belirli integral hesapladığımız için $C$ sabitini eklememize gerek yoktur.

• Belirli İntegrali Hesaplayalım:

  Şimdi bulduğumuz integral ifadesine üst ve alt sınırları yerleştirerek işi hesaplayalım. Bu, belirli integralin temel teoremidir: $[G(x)]_{a}^{b} = G(b) - G(a)$ prensibini kullanacağız.

  $W = [3x^2 + 4x]_{0}^{2}$

  Önce üst sınırı ($x=2$) yerine koyalım:

  $3(2)^2 + 4(2) = 3(4) + 8 = 12 + 8 = 20$

  Sonra alt sınırı ($x=0$) yerine koyalım:

  $3(0)^2 + 4(0) = 0 + 0 = 0$

  Bu iki değeri birbirinden çıkaralım:

  $W = 20 - 0 = 20$ Joule

  Böylece kuvvetin yaptığı işin $20$ Joule olduğunu buluruz.

Cevap C seçeneğidir.