9. Sınıf Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlik İçeren Problemler Nedir? Test 2

8. |x + 2| = |2x - 1| denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

A) -1
B) 0
C) 1
D) 2

Sevgili öğrenciler, mutlak değer denklemleri ilk başta karmaşık görünebilir ama aslında çok basit bir mantığı vardır. Unutmayın, mutlak değer bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve bu uzaklık her zaman pozitiftir. Bu yüzden, iki mutlak değer ifadesi birbirine eşitse, içerideki ifadeler ya birbirine eşittir ya da birbirinin ters işaretlisine eşittir.

Şimdi sorumuzdaki denklemi adım adım çözelim: $|x + 2| = |2x - 1|$

• 1. Adım: Mutlak Değer Denkleminin Temel Kuralını Uygulayalım

Eğer $|A| = |B|$ ise, bu durumda iki farklı çözüm yolu vardır:

• $A = B$
• $A = -B$

Bizim denklemimizde $A = x + 2$ ve $B = 2x - 1$. Şimdi bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim.

• 2. Adım: Birinci Durumu Çözelim ($A = B$)

Bu durumda, mutlak değerlerin içindeki ifadeleri doğrudan birbirine eşitleriz:

$x + 2 = 2x - 1$

Şimdi bu denklemi $x$ için çözelim:

• $x$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. Genellikle $x$'in pozitif kalacağı tarafı tercih ederiz.
• $2 + 1 = 2x - x$
• $3 = x$

Böylece ilk $x$ değerimizi bulduk: $x_1 = 3$.

• 3. Adım: İkinci Durumu Çözelim ($A = -B$)

Bu durumda, birinci ifadenin, ikinci ifadenin ters işaretlisine eşit olduğunu kabul ederiz:

$x + 2 = -(2x - 1)$

Şimdi parantezi açarken işaretlere dikkat edelim:

$x + 2 = -2x + 1$

Bu denklemi de $x$ için çözelim:

• $x$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım.
• $x + 2x = 1 - 2$
• $3x = -1$
• $x = -\frac{1}{3}$

Böylece ikinci $x$ değerimizi bulduk: $x_2 = -\frac{1}{3}$.

• 4. Adım: Bulduğumuz $x$ Değerlerini Toplayalım

Denklemi sağlayan $x$ değerleri $x_1 = 3$ ve $x_2 = -\frac{1}{3}$'tür. Soruda bu değerlerin toplamı isteniyor:

Toplam $= x_1 + x_2 = 3 + (-\frac{1}{3})$

Paydaları eşitleyerek toplama işlemini yapalım:

Toplam $= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{9 - 1}{3} = \frac{8}{3}$

Denklemi sağlayan $x$ değerlerinin toplamı $\frac{8}{3}$'tür.

Cevap B seçeneğidir.