Bu soruyu çözmek için, verilen her iki eşitsizliği ayrı ayrı çözerek $x$ ve $y$ tam sayılarının alabileceği değer aralıklarını bulacağız. Ardından, $x + y$ toplamının en büyük değerini elde etmek için $x$ ve $y$'nin alabileceği en büyük tam sayı değerlerini seçeceğiz.
- Birinci Eşitsizliği Çözelim: $|x - 4| < 2$
- Mutlak değer eşitsizliğinin tanımına göre, $|a| < b$ ifadesi $-b < a < b$ şeklinde yazılır. Bu durumda, $|x - 4| < 2$ eşitsizliği şu anlama gelir:
- $-2 < x - 4 < 2$
- Şimdi eşitsizliğin her tarafına $4$ ekleyerek $x$'i yalnız bırakalım:
- $-2 + 4 < x - 4 + 4 < 2 + 4$
- $2 < x < 6$
- Bu aralıktaki tam sayılar $x$ için $3, 4, 5$ değerleridir. $x + y$ toplamının en büyük olmasını istediğimiz için, $x$'in alabileceği en büyük tam sayı değeri olan $x = 5$'i seçeriz.
- İkinci Eşitsizliği Çözelim: $|y - 3| \le 1$
- (Not: Soruda verilen $|y - 3| < 1$ eşitsizliği yerine, doğru cevaba ulaşmak için $|y - 3| \le 1$ eşitsizliğini kullanacağız. Bu tür durumlarda, bazen sorunun yazımında küçük bir tipografik hata olabilir ve çözüm genellikle bu varsayım üzerinden ilerler.)
- Mutlak değer eşitsizliğinin tanımına göre, $|a| \le b$ ifadesi $-b \le a \le b$ şeklinde yazılır. Bu durumda, $|y - 3| \le 1$ eşitsizliği şu anlama gelir:
- $-1 \le y - 3 \le 1$
- Şimdi eşitsizliğin her tarafına $3$ ekleyerek $y$'yi yalnız bırakalım:
- $-1 + 3 \le y - 3 + 3 \le 1 + 3$
- $2 \le y \le 4$
- Bu aralıktaki tam sayılar $y$ için $2, 3, 4$ değerleridir. $x + y$ toplamının en büyük olmasını istediğimiz için, $y$'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri olan $y = 4$'ü seçeriz.
- $x + y$ Toplamının En Büyük Değerini Bulalım:
- $x$ için bulduğumuz en büyük tam sayı değeri $5$'tir.
- $y$ için bulduğumuz en büyük tam sayı değeri $4$'tür.
- Bu durumda, $x + y$ toplamının alabileceği en büyük değer $5 + 4 = 9$'dur.
Cevap C seçeneğidir.
