Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu çözmek için köklü sayıları sadeleştirme ve toplama-çıkarma kurallarını adım adım uygulayacağız. Hazır mısınız?
- Öncelikle, işlemdeki her bir köklü sayıyı en sade haline getirmemiz gerekiyor. Yani, kök içindeki sayıları bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazmaya çalışacağız. Amacımız, kök dışına çıkarabildiğimiz kadar sayıyı çıkarmak ve tüm köklü ifadeleri aynı kök içine sahip olacak şekilde düzenlemek.
- İlk sayımız $ \sqrt{12} $. $12$ sayısını çarpanlarına ayıralım: $12 = 4 \times 3$. Burada $4$ bir tam karedir ($2^2$). O zaman $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} $ şeklinde yazabiliriz. Karekökün özelliklerinden dolayı bunu $ \sqrt{4} \times \sqrt{3} $ olarak ayırabiliriz. $ \sqrt{4} $ değeri $2$'ye eşittir. Dolayısıyla, $ \sqrt{12} $ ifadesi $ 2\sqrt{3} $ olur.
- Sıradaki sayımız $ \sqrt{27} $. $27$ sayısını çarpanlarına ayıralım: $27 = 9 \times 3$. Burada $9$ bir tam karedir ($3^2$). O zaman $ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} $ şeklinde yazabiliriz. Bunu da $ \sqrt{9} \times \sqrt{3} $ olarak ayırabiliriz. $ \sqrt{9} $ değeri $3$'e eşittir. Dolayısıyla, $ \sqrt{27} $ ifadesi $ 3\sqrt{3} $ olur.
- Son sayımız $ \sqrt{3} $. $3$ sayısı bir tam kare çarpan içermediği için (kendisi ve $1$ dışında), bu ifade zaten en sade halindedir. Yani $ \sqrt{3} $ olarak kalır.
- Şimdi, sadeleştirdiğimiz bu ifadeleri orijinal işlemdeki yerlerine yazalım:
$ \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} $
$ (2\sqrt{3}) + (3\sqrt{3}) - (\sqrt{3}) $
- Gördüğünüz gibi, tüm terimler $ \sqrt{3} $ içeriyor. Bu durumda, kök içindeki sayılar aynı olduğu için kök dışındaki katsayıları toplayıp çıkarabiliriz. Tıpkı $2x + 3x - x$ işlemini yapar gibi düşünebilirsiniz.
$ (2 + 3 - 1)\sqrt{3} $
- Parantez içindeki işlemi yapalım: $2 + 3 = 5$, ve $5 - 1 = 4$.
Sonuç olarak $ 4\sqrt{3} $ elde ederiz.
- Bu sonuç, seçeneklerdeki A) $ 4\sqrt{3} $ ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
