Analitik düzlemde iki nokta arası uzaklık Test 2

Koordinat düzleminde R(2a,3) ve S(4,2a) noktaları arasındaki uzaklık √13 birimdir. Buna göre a'nın alabileceği pozitif değer kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, koordinat düzleminde verilen iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bilinmeyen $a$ değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülünü Hatırlayalım:

  Koordinat düzleminde $P_1(x_1, y_1)$ ve $P_2(x_2, y_2)$ noktaları arasındaki uzaklık $d$ aşağıdaki formülle bulunur:

  $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• 2. Verilen Noktaları ve Uzaklığı Formülde Yerine Koyalım:

  Soruda verilen noktalar $R(2a,3)$ ve $S(4,2a)$'dır. Uzaklık ise $d = \sqrt{13}$ birimdir.

  Burada $x_1 = 2a$, $y_1 = 3$, $x_2 = 4$ ve $y_2 = 2a$ olarak alabiliriz.

  Formülü uygulayalım:

  $\sqrt{13} = \sqrt{(4 - 2a)^2 + (2a - 3)^2}$

• 3. Denklemi Çözmek İçin Her İki Tarafın Karesini Alalım:

  Kareköklerden kurtulmak için denklemin her iki tarafının karesini alalım:

  $(\sqrt{13})^2 = (\sqrt{(4 - 2a)^2 + (2a - 3)^2})^2$

  $13 = (4 - 2a)^2 + (2a - 3)^2$

• 4. Parantez Kare İfadelerini Açalım:

  $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ özdeşliğini kullanarak parantez kareleri açalım:

  • $(4 - 2a)^2 = 4^2 - 2(4)(2a) + (2a)^2 = 16 - 16a + 4a^2$
  • $(2a - 3)^2 = (2a)^2 - 2(2a)(3) + 3^2 = 4a^2 - 12a + 9$

  Şimdi bu ifadeleri denklemde yerine yazalım:

  $13 = (16 - 16a + 4a^2) + (4a^2 - 12a + 9)$

• 5. Denklemi Düzenleyerek İkinci Dereceden Bir Denklem Elde Edelim:

  Benzer terimleri birleştirelim:

  $13 = (4a^2 + 4a^2) + (-16a - 12a) + (16 + 9)$

  $13 = 8a^2 - 28a + 25$

  Denklemi sıfıra eşitlemek için $13$'ü sağ tarafa atalım:

  $0 = 8a^2 - 28a + 25 - 13$

  $8a^2 - 28a + 12 = 0$

  Denklemi sadeleştirmek için her terimi $4$'e bölelim:

  $2a^2 - 7a + 3 = 0$

• 6. İkinci Dereceden Denklemi Çözelim:

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak veya diskriminant (delta) formülüyle çözebiliriz. Çarpanlara ayırma yöntemini kullanalım:

  Çarpımları $2 \times 3 = 6$ ve toplamları $-7$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-1$ ve $-6$'dır.

  $2a^2 - 6a - a + 3 = 0$

  Gruplandırarak çarpanlara ayıralım:

  $2a(a - 3) - 1(a - 3) = 0$

  $(2a - 1)(a - 3) = 0$

  Bu durumda iki olası $a$ değeri vardır:

  • $2a - 1 = 0 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
  • $a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3$
• 7. $a$'nın Pozitif Değerini Seçelim:

  Soruda $a$'nın alabileceği pozitif değer sorulmaktadır. Bulduğumuz her iki değer de ($a = \frac{1}{2}$ ve $a = 3$) pozitiftir.

  Seçeneklere baktığımızda, $a=3$ değeri C seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap C seçeneğidir.