🎓 Reel (Gerçek) sayılar nedir (R) Test 2 - Ders Notu
Bu ders notu, "Reel (Gerçek) sayılar nedir (R) Test 2" kapsamında karşılaşabileceğin temel reel sayı kavramlarını, alt kümelerini, özelliklerini ve bu sayılarla yapılan işlemleri sade bir dille özetlemektedir. Amacımız, konuyu hızlıca tekrar etmene ve testteki soruları daha rahat çözmene yardımcı olmaktır.
📌 Reel (Gerçek) Sayılar (R) Nedir?
Reel (Gerçek) sayılar, sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları temsil eden sayılar kümesidir. Yani, hayal edebileceğin tüm rasyonel ve irrasyonel sayıları kapsar.
- 📝 Reel sayılar kümesi "R" sembolü ile gösterilir.
- 📝 Sayı doğrusu üzerindeki her noktaya bir reel sayı karşılık gelir ve her reel sayıya sayı doğrusu üzerinde bir nokta karşılık gelir.
📌 Reel Sayı Kümeleri ve İlişkileri
Reel sayılar kendi içinde farklı alt kümelere ayrılır. Bu kümeler arasındaki ilişkileri bilmek, sayıların dünyasını anlamana yardımcı olur.
- Doğal Sayılar (N): Sayma işlemiyle kullandığımız pozitif tam sayılar ve sıfırdan oluşur. Örn: $0, 1, 2, 3, ...$
- Tam Sayılar (Z): Doğal sayılar, onların negatifleri ve sıfırdan oluşur. Örn: $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$
- Rasyonel Sayılar (Q): İki tam sayının oranı şeklinde ($a/b$, $b \neq 0$) yazılabilen sayılardır. Ondalık gösterimleri ya sonludur ya da devirlidir. Örn: $1/2 = 0.5$, $1/3 = 0.333...$, $5$, $-7$.
- İrrasyonel Sayılar (Q'): Rasyonel olmayan sayılardır. İki tam sayının oranı şeklinde yazılamazlar. Ondalık gösterimleri sonsuz ve devirsizdir. Örn: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$.
- 💡 İpucu: Bu kümeler arasında şu ilişki vardır: $N \subset Z \subset Q \subset R$. İrrasyonel sayılar ($Q'$) ise rasyonel sayılar ($Q$) ile tamamen ayrı bir kümedir, ancak ikisi birlikte reel sayıları ($R$) oluşturur ($Q \cup Q' = R$).
📌 Reel Sayıların Temel Özellikleri
Reel sayılarla işlem yaparken bilmen gereken bazı temel özellikler vardır. Bu özellikler, denklemleri çözmende veya ifadeleri basitleştirmende işine yarar.
- Değişme Özelliği: Toplama ve çarpmada sayıların yerleri değişse de sonuç değişmez. Örn: $a+b = b+a$, $a \cdot b = b \cdot a$. (Günlük hayatta: 2 elma + 3 armut = 3 armut + 2 elma)
- Birleşme Özelliği: Toplama ve çarpmada üç veya daha fazla sayı üzerinde işlem yaparken parantezlerin yeri değişse de sonuç değişmez. Örn: $(a+b)+c = a+(b+c)$, $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
- Dağılma Özelliği: Çarpmanın toplama veya çıkarma üzerine dağılmasıdır. Örn: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$.
- Etkisiz (Birim) Eleman: Toplamada sıfır ($0$), çarpmada bir ($1$) etkisiz elemandır. Örn: $a+0 = a$, $a \cdot 1 = a$.
- Ters Eleman: Toplamada bir sayının tersi, o sayının negatifidir (toplamları $0$ olur). Çarpmada bir sayının tersi, o sayının çarpmaya göre tersidir (çarpımları $1$ olur). Örn: $a+(-a) = 0$, $a \cdot (1/a) = 1$ (burada $a \neq 0$ olmalı).
⚠️ Dikkat: Çıkarma ve bölme işlemlerinde değişme ve birleşme özellikleri geçerli değildir!
📌 Reel Sayılarla İşlemler
Reel sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini doğru yapabilmek için bazı kuralları hatırlamak önemlidir.
- İşlem Önceliği: Parantezler, Üslü ve Köklü İfadeler, Çarpma/Bölme (soldan sağa), Toplama/Çıkarma (soldan sağa).
- Köklü Sayılarla İşlemler:
- Toplama/Çıkarma: Sadece kök içleri ve kök dereceleri aynı olan ifadeler toplanıp çıkarılabilir. Örn: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
- Çarpma/Bölme: Kök dereceleri aynı ise kök içleri çarpılır/bölünür. Örn: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$.
- Kök dışına çıkarma: $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$. Örn: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
- Üslü Sayılarla İşlemler:
- Çarpma: Tabanlar aynı ise üsler toplanır. Örn: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.
- Bölme: Tabanlar aynı ise üsler çıkarılır. Örn: $5^6 / 5^2 = 5^{6-2} = 5^4$.
- Üssün Üssü: Üsler çarpılır. Örn: $(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$.
- Negatif Üs: Sayının çarpmaya göre tersini ifade eder. Örn: $a^{-n} = 1/a^n$.
- Sıfır Üs: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti $1$'dir. Örn: $7^0 = 1$.
📌 Reel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama
Reel sayıları büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıralarken sayı doğrusunu düşünebilirsin. Sağdaki sayılar daha büyüktür.
- 📝 Pozitif sayılar sıfırdan büyük, negatif sayılar sıfırdan küçüktür.
- 📝 Rasyonel sayıları karşılaştırırken paydaları eşitleyebilir veya ondalık gösterimlerine bakabilirsin.
- 📝 İrrasyonel sayıları (özellikle köklü ifadeleri) karşılaştırırken, bazen yaklaşık değerlerini düşünmek veya her iki sayının da karesini almak işe yarar. Örn: $\sqrt{2}$ yaklaşık $1.414$'tür. $\sqrt{5}$ mi büyük $2$ mi? $2^2=4$, $(\sqrt{5})^2=5$. $5>4$ olduğu için $\sqrt{5}>2$.
📌 Mutlak Değer
Bir reel sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan uzaklığıdır ve her zaman pozitif veya sıfırdır.
- 📝 $|x|$ şeklinde gösterilir.
- 📝 Eğer $x \ge 0$ ise, $|x| = x$. Örn: $|5|=5$.
- 📝 Eğer $x < 0$ ise, $|x| = -x$. Örn: $|-3| = -(-3) = 3$.
💡 İpucu: Mutlak değer asla negatif bir sayıya eşit olamaz. Bir sayının mutlak değeri, o sayının pozitif halidir.
