Bir matematik sorusunda "x² = 2" denkleminin çözüm kümesi sorulmaktadır. Bu denklemin reel sayılar kümesindeki çözümleri için ne söylenebilir?
A) Reel kökü yoktur
B) Tek bir reel kökü vardır
C) İki farklı reel kökü vardır
D) Sonsuz çoklukta reel kökü vardır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, $x^2 = 2$ denkleminin reel sayılar kümesindeki çözümlerini adım adım inceleyeceğiz. Bu tür denklemler, matematikte sıkça karşımıza çıkar ve çözüm yöntemleri oldukça temeldir.
- Öncelikle, bize verilen denklem $x^2 = 2$ şeklindedir. Bu denklem, "karesi 2 olan sayı veya sayıları bulun" anlamına gelir.
- Bir sayının karesi 2 ise, o sayıyı bulmak için denklemin her iki tarafının da karekökünü almamız gerekir.
- Denklemin her iki tarafının karekökünü aldığımızda: $\sqrt{x^2} = \sqrt{2}$ olur.
- $\sqrt{x^2}$ ifadesi, $|x|$ olarak dışarı çıkar. Çünkü bir sayının karesinin karekökü, o sayının mutlak değerine eşittir. Yani, $|x| = \sqrt{2}$ elde ederiz.
- Mutlak değer tanımına göre, $|x| = \sqrt{2}$ demek, $x$ sayısının 0'a olan uzaklığının $\sqrt{2}$ birim olması demektir. Bu durumda $x$ ya pozitif $\sqrt{2}$ ya da negatif $\sqrt{2}$ olmalıdır.
- Yani, bu denklemin iki farklı çözümü vardır:
- Birinci çözüm: $x_1 = \sqrt{2}$
- İkinci çözüm: $x_2 = -\sqrt{2}$
- Hem $\sqrt{2}$ hem de $-\sqrt{2}$ sayıları reel sayılardır (gerçek sayılardır). $\sqrt{2}$ yaklaşık olarak $1.414$ değerine sahip, irrasyonel bir sayıdır.
- Bu durumda, $x^2 = 2$ denkleminin reel sayılar kümesinde iki farklı reel kökü (çözümü) bulunmaktadır.
- Şimdi seçeneklerimize bakalım:
- A) Reel kökü yoktur: Yanlış, iki tane bulduk.
- B) Tek bir reel kökü vardır: Yanlış, iki tane bulduk.
- C) İki farklı reel kökü vardır: Doğru, $\sqrt{2}$ ve $-\sqrt{2}$ olmak üzere iki farklı reel kökü vardır.
- D) Sonsuz çoklukta reel kökü vardır: Yanlış, sadece iki tane kökü vardır.
Bu adımları takip ederek, $x^2 = 2$ denkleminin reel sayılar kümesinde iki farklı reel kökü olduğunu açıkça görmüş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
