Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün, iki eğri arasında kalan alanı bulma konusunu ele alacağız. Bu tür problemler, integralin en güzel uygulamalarından biridir ve bize geometrik şekillerin alanlarını hesaplama gücü verir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu birlikte çözelim.
- 1. Adım: Eğrilerin Kesişim Noktalarını Bulma
- Öncelikle, $y = x^2$ parabolü ile $y = 2x$ doğrusunun nerede kesiştiğini bulmamız gerekiyor. Bu kesişim noktaları, integralimizin sınırlarını belirleyecek.
- Bunun için, iki denklemi birbirine eşitleyelim:
- $x^2 = 2x$
- Şimdi bu denklemi $x$ için çözelim:
- $x^2 - 2x = 0$
- $x(x - 2) = 0$
- Bu denklemin çözümleri $x = 0$ ve $x = 2$'dir. Demek ki eğrilerimiz $x=0$ ve $x=2$ noktalarında kesişiyor. Bu değerler, integralimizin alt ve üst sınırları olacaktır.
- 2. Adım: Hangi Eğrinin Üstte Olduğunu Belirleme
- İki eğri arasında kalan alanı bulmak için, belirli bir aralıkta hangi eğrinin diğerinden daha yukarıda olduğunu bilmemiz gerekir. Kesişim noktalarımız $x=0$ ve $x=2$ olduğuna göre, bu aralık $(0, 2)$'dir.
- Bu aralıktan rastgele bir $x$ değeri seçelim, örneğin $x=1$.
- $y = x^2$ için: $y = 1^2 = 1$
- $y = 2x$ için: $y = 2(1) = 2$
- Gördüğümüz gibi, $x=1$ noktasında $y = 2x$ doğrusu ($y=2$) parabolün ($y=1$) üzerindedir. Bu durum, tüm $(0, 2)$ aralığı için geçerlidir. Yani, üstteki fonksiyon $f(x) = 2x$ ve alttaki fonksiyon $g(x) = x^2$'dir.
- 3. Adım: Alan İntegralini Kurma
- İki eğri arasında kalan alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkararak elde edilen farkın belirli integralini alarak bulunur. Formülümüz şöyledir:
- $A = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$
- Burada $a=0$, $b=2$, $f(x) = 2x$ ve $g(x) = x^2$'dir.
- O halde integralimiz:
- $A = \int_0^2 (2x - x^2) dx$
- 4. Adım: İntegrali Hesaplama
- Şimdi bu belirli integrali hesaplayalım:
- Önce integralin belirsiz halini alalım:
- $\int (2x - x^2) dx = 2 \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C = x^2 - \frac{x^3}{3} + C$
- Şimdi belirli integralin değerini bulmak için, üst sınırı yerine koyup alt sınırı yerine koyduğumuz değeri çıkaralım (Newton-Leibniz formülü):
- $A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2$
- $A = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right)$
- $A = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - (0 - 0)$
- $A = 4 - \frac{8}{3}$
- Paydaları eşitleyelim:
- $A = \frac{12}{3} - \frac{8}{3}$
- $A = \frac{4}{3}$
Böylece, parabol ile doğru arasında kalan bölgenin alanını $4/3$ birimkare olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
