Bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi 36π cm³'tür. Buna göre küpün bir ayrıt uzunluğu kaç cm'dir?
A) 3Bu problemde, bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin özelliklerini kullanarak küpün ayrıt uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli küre, küpün tüm yüzeylerine teğet olacaktır. Bu durumda, kürenin çapı, küpün bir ayrıt uzunluğuna eşit olur. Eğer küpün bir ayrıt uzunluğunu $a$ ile ve kürenin yarıçapını $r$ ile gösterirsek, bu ilişkiyi $a = 2r$ olarak ifade edebiliriz.
Soruda bize kürenin hacmi $36\pi$ cm³ olarak verilmiştir. Bir kürenin hacim formülü $V_{küre} = \frac{4}{3}\pi r^3$'tür.
Verilen hacim bilgisini formülle eşitleyelim:
$\frac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi$
Denklemin her iki tarafını $\pi$ ile bölelim:
$\frac{4}{3} r^3 = 36$
$r^3$ değerini bulmak için denklemin her iki tarafını $\frac{3}{4}$ ile çarpalım:
$r^3 = 36 \times \frac{3}{4}$
Sadeleştirme yaparsak:
$r^3 = 9 \times 3$
Yani $r^3 = 27$.
$r$ değerini bulmak için her iki tarafın küp kökünü alalım:
$r = \sqrt[3]{27}$
Buradan kürenin yarıçapı $r = 3$ cm olarak bulunur.
Adım 1'de belirlediğimiz ilişkiye göre, küpün ayrıt uzunluğu kürenin çapına eşitti: $a = 2r$.
Bulduğumuz $r = 3$ cm değerini yerine koyalım:
$a = 2 \times 3$
Böylece küpün bir ayrıt uzunluğu $a = 6$ cm olarak bulunur.
Cevap B seçeneğidir.
