Sevgili öğrenciler, bu problemde bir ürünün satışından elde edilen kârı modelleyen bir fonksiyon verilmiş ve bizden maksimum kârın kaç birim ürün satıldığında elde edileceğini bulmamız isteniyor. Haydi bu problemi adım adım çözelim!
- Fonksiyonu Anlayalım: Bize verilen kâr fonksiyonu $P(x) = -2x^2 + 80x - 500$ şeklindedir. Burada $P(x)$ kârı, $x$ ise satılan ürün sayısını temsil ediyor. Bu fonksiyon, ikinci dereceden bir fonksiyondur (parabol).
- Maksimum Değeri Bulma Yöntemi: İkinci dereceden bir fonksiyon $ax^2 + bx + c$ şeklinde olduğunda, eğer $a$ katsayısı negatifse (bizim durumumuzda $a = -2$), bu parabol aşağı doğru açılır ve bir tepe noktasına sahiptir. Bu tepe noktası, fonksiyonun alabileceği en büyük (maksimum) değeri temsil eder.
- Tepe Noktasının x-Koordinatını Bulma: Bir parabolün tepe noktasının x-koordinatı (yani maksimum veya minimum değerin elde edildiği $x$ değeri) $x = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur.
- Katsayıları Belirleyelim: Kâr fonksiyonumuz $P(x) = -2x^2 + 80x - 500$ olduğu için, katsayılarımız şunlardır:
$a = -2$
$b = 80$
$c = -500$
- Formülü Uygulayalım: Şimdi $x = -\frac{b}{2a}$ formülünü kullanarak maksimum kârın elde edildiği ürün sayısını bulalım:
$x = -\frac{80}{2 \cdot (-2)}$
$x = -\frac{80}{-4}$
$x = 20$
- Sonucu Yorumlayalım: Bu sonuç bize, 20 birim ürün satıldığında maksimum kârın elde edileceğini gösterir.
Cevap B seçeneğidir.
