f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
A) 2Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulmak için türev alma kurallarını kullanırız. Bu noktalar, fonksiyonun eğiminin sıfır olduğu yerlerdir. Yani, fonksiyonun birinci türevini alıp sıfıra eşitleyerek bu noktaların apsislerini (x-değerlerini) buluruz.
Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma
Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.
Bu fonksiyonun birinci türevini alalım. Türev alma kurallarını hatırlayalım: $x^n$'nin türevi $nx^{n-1}$'dir ve sabit terimin türevi sıfırdır.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(2)$
$f'(x) = 3x^{3-1} - 6 \cdot 2x^{2-1} + 9 \cdot 1x^{1-1} + 0$
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
Adım 2: Yerel Ekstremum Noktalarının Apsislerini (x-değerlerini) Bulma
Yerel maksimum ve yerel minimum noktalarında fonksiyonun eğimi sıfır olduğu için, birinci türevi sıfıra eşitleriz:
$f'(x) = 0$
$3x^2 - 12x + 9 = 0$
Bu denklemi çözmek için her terimi 3'e bölebiliriz, bu işlemi basitleştirir:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Şimdi bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak veya diskriminant formülü ($x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$) kullanarak çözebiliriz. Çarpanlara ayırma yöntemi daha hızlı olacaktır:
Çarpımları 3, toplamları -4 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar -1 ve -3'tür.
$(x - 1)(x - 3) = 0$
Buradan iki farklı $x$ değeri elde ederiz:
Bu $x_1 = 1$ ve $x_2 = 3$ değerleri, fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının apsisleridir.
Adım 3: Apsislerin Toplamını Bulma
Soru bizden yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının apsisleri toplamını istiyor. Bulduğumuz apsis değerlerini toplayalım:
Toplam $= x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4$
Bu nedenle, fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının apsisleri toplamı $4$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
