cos(2a) formülü (cos²a - sin²a) Test 2

cos70° = k olduğuna göre, cos140° ifadesinin k türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2k² - 1
B) 1 - 2k²
C) k² - 1
D) 1 - k²

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün trigonometri konusundaki bir soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözeceğiz. Amacımız, verilen bir açının kosinüs değerini kullanarak, bu açının iki katının kosinüs değerini bulmak.

• Adım 1: Soruyu Anlama ve Hedefi Belirleme

  Bize $\cos 70^\circ = k$ olduğu bilgisi verilmiş. Bizden istenen ise $\cos 140^\circ$ ifadesinin $k$ türünden eşitini bulmamız. Dikkat ederseniz, $140^\circ$ açısı, $70^\circ$ açısının tam iki katıdır. Bu durum bize trigonometrideki "çift açı formüllerini" kullanmamız gerektiğini düşündürmelidir.

• Adım 2: Çift Açı Formüllerini Hatırlama

  Kosinüs için üç farklı çift açı formülü bulunmaktadır. Bunlardan biri, bir açının iki katının kosinüsünü, o açının kosinüsü cinsinden ifade etmemizi sağlar. Bu formül şöyledir:

  $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$

  Diğer formüller ise $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ ve $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ şeklindedir. Bizim elimizde $\cos \theta$ değeri olduğu için ilk formülü kullanmak en uygunudur.

• Adım 3: Formülü Uygulama

  Şimdi, çift açı formülünü sorumuzdaki açılara uygulayalım. Eğer $\theta = 70^\circ$ alırsak, $2\theta$ açısı $2 \times 70^\circ = 140^\circ$ olur. Formülü yerine yazarsak:

  $\cos 140^\circ = \cos (2 \times 70^\circ) = 2\cos^2 70^\circ - 1$

• Adım 4: Verilen Bilgiyi Yerine Koyma

  Soruda bize $\cos 70^\circ = k$ olduğu bilgisi verilmişti. Bu değeri, bir önceki adımda bulduğumuz formülde yerine yazalım:

  $\cos 140^\circ = 2(k)^2 - 1$

• Adım 5: Sonucu Sadeleştirme

  İfadeyi daha basit bir şekilde yazarsak:

  $\cos 140^\circ = 2k^2 - 1$

• Adım 6: Seçeneklerle Karşılaştırma

  Bulduğumuz sonuç olan $2k^2 - 1$ ifadesi, seçeneklerde A şıkkında yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.