Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için, basit bir sarkaçın periyodunu etkileyen faktörleri ve bu faktörlerin nasıl değiştiğini anlamamız gerekiyor. Haydi adım adım ilerleyelim:
- Sarkaç Periyodu Formülü: Bir basit sarkaçın periyodu ($T$), yani bir tam salınım yapması için geçen süre, aşağıdaki formülle hesaplanır:
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$
Burada:
- $T$: Periyot (saniye)
- $\pi$: Pi sayısı (yaklaşık 3.14)
- $L$: Sarkaç ipinin uzunluğu (metre)
- $g$: Yerçekimi ivmesi (metre/saniye$^2$)
- Dünya'daki Durum: Soruda sarkaçın Dünya'daki periyodunun $2$ saniye olduğu belirtilmiş. Bu durumu formülle ifade edelim:
$$T_{Dünya} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{Dünya}}} = 2 \text{ saniye}$$
- Ay'daki Durum: Sarkaç Ay'a götürüldüğünde, sarkaç ipinin uzunluğu ($L$) değişmez. Ancak yerçekimi ivmesi ($g$) değişir. Soruda Ay'daki yerçekimi ivmesinin Dünya'dakinin $1/6$'sı olduğu belirtiliyor:
$$g_{Ay} = \frac{1}{6} g_{Dünya}$$
Şimdi Ay'daki periyot ($T_{Ay}$) için formülü yazalım:
$$T_{Ay} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{Ay}}}$$
- Yerçekimi İvmesini Yerine Koyma: Ay'daki yerçekimi ivmesi ($g_{Ay}$) yerine $\frac{1}{6} g_{Dünya}$ ifadesini yazalım:
$$T_{Ay} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{\frac{1}{6} g_{Dünya}}}$$
Kesirlerde bölme işlemi yaparken, paydadaki kesri ters çevirip çarparız:
$$T_{Ay} = 2\pi \sqrt{\frac{6L}{g_{Dünya}}}$$
- Periyotları Karşılaştırma: Şimdi bu ifadeyi biraz düzenleyelim. Karekök içindeki $6$ sayısını dışarı çıkarabiliriz:
$$T_{Ay} = \sqrt{6} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{Dünya}}}$$
Dikkat ederseniz, $2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{Dünya}}}$ ifadesi tam olarak Dünya'daki periyot ($T_{Dünya}$) formülüdür. O halde, bu ifade yerine $T_{Dünya}$ yazabiliriz:
$$T_{Ay} = \sqrt{6} \cdot T_{Dünya}$$
- Sonucu Hesaplama: Dünya'daki periyot $2$ saniye olduğuna göre, Ay'daki periyodu hesaplayalım:
$$T_{Ay} = \sqrt{6} \cdot 2 \text{ saniye}$$
Bu, sarkaçın periyodunun $\sqrt{6}$ katına çıktığı anlamına gelir.
Cevap B seçeneğidir.
