Basit harmonik hareket nedir Test 2

Bir cisim yatay sürtünmesiz bir düzlemde basit harmonik hareket yapmaktadır. Cismin toplam mekanik enerjisi E, maksimum hızı vₘ ve genliği A'dır. Buna göre cismin denge konumundan x kadar uzaktayken hızı nedir?

A) vₘ√(1 - x²/A²)
B) vₘ√(1 - A²/x²)
C) vₘ(1 - x/A)
D) vₘ(1 - x²/A²)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Basit harmonik hareket, doğada ve mühendislikte sıkça karşılaştığımız önemli bir konudur. Bu tür hareketlerde enerji korunumu prensibi, cismin herhangi bir andaki hızını veya konumunu bulmamızda bize çok yardımcı olur. Şimdi sorumuzu adım adım çözerek bu prensibi nasıl uygulayacağımızı görelim.

• Adım 1: Toplam Mekanik Enerjinin Korunumu
• Sürtünmesiz bir düzlemde basit harmonik hareket yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi ($E$) sabittir. Bu enerji, cismin kinetik enerjisi ($KE$) ile potansiyel enerjisinin ($PE$) toplamına eşittir.
  • $E = KE + PE$
• Adım 2: Maksimum Hız ve Genlik Durumundaki Enerji İfadeleri
• Cismin hareketini iki özel noktada inceleyelim:
  • Denge konumunda ($x=0$): Bu noktada cismin potansiyel enerjisi sıfırdır ($PE=0$). Tüm enerji kinetik enerjiye dönüşmüştür ve cismin hızı maksimumdur ($v_m$). Cismin kütlesi $m$ olmak üzere:
    • $E = KE_{maks} = \frac{1}{2}mv_m^2$
  • Maksimum uzanım (genlik $A$) konumunda ($x=A$): Bu noktada cismin hızı sıfırdır ($KE=0$). Tüm enerji potansiyel enerjiye dönüşmüştür ve potansiyel enerji maksimumdur. Basit harmonik hareketteki potansiyel enerji, yay sabiti $k$ ile ilişkilidir:
    • $E = PE_{maks} = \frac{1}{2}kA^2$
• Adım 3: Herhangi Bir $x$ Konumundaki Enerji İfadesi
• Cisim denge konumundan $x$ kadar uzaktayken hızı $v$ olsun. Bu konumda cismin hem kinetik enerjisi hem de potansiyel enerjisi vardır:
  • $KE = \frac{1}{2}mv^2$
  • $PE = \frac{1}{2}kx^2$
  • Toplam enerji: $E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
• Adım 4: Denklemleri Birleştirerek Hızı Bulma
• Şimdi, toplam enerjinin her durumda aynı olduğunu kullanarak denklemleri birleştirelim. Adım 2'deki denge konumundaki toplam enerji ile Adım 3'teki herhangi bir $x$ konumundaki toplam enerjiyi eşitleyelim:
  • $\frac{1}{2}mv_m^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
• Denklemin her iki tarafını $\frac{1}{2}$ ile sadeleştirelim:
  • $mv_m^2 = mv^2 + kx^2$
• Şimdi $k$ yay sabitini $m$, $v_m$ ve $A$ cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Adım 2'deki iki enerji ifadesini eşitleyebiliriz ($E = \frac{1}{2}mv_m^2$ ve $E = \frac{1}{2}kA^2$):
  • $\frac{1}{2}mv_m^2 = \frac{1}{2}kA^2$
  • $mv_m^2 = kA^2$
  • Buradan $k = \frac{mv_m^2}{A^2}$ elde ederiz.
• Bu $k$ ifadesini yukarıdaki $mv_m^2 = mv^2 + kx^2$ denklemine yerine koyalım:
  • $mv_m^2 = mv^2 + \left(\frac{mv_m^2}{A^2}\right)x^2$
• Denklemin her iki tarafını $m$ ile sadeleştirelim (çünkü kütle sıfır olamaz):
  • $v_m^2 = v^2 + \frac{v_m^2}{A^2}x^2$
• Şimdi $v^2$ ifadesini yalnız bırakalım:
  • $v^2 = v_m^2 - \frac{v_m^2}{A^2}x^2$
  • $v^2 = v_m^2 \left(1 - \frac{x^2}{A^2}\right)$
• Son olarak, her iki tarafın karekökünü alarak $v$ hızını bulalım:
  • $v = \sqrt{v_m^2 \left(1 - \frac{x^2}{A^2}\right)}$
  • $v = v_m \sqrt{1 - \frac{x^2}{A^2}}$

Bu sonuç, cismin denge konumundan $x$ kadar uzaktayken sahip olduğu hızı vermektedir.

Cevap A seçeneğidir.